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Stieltjes積分 - (2009/08/26 (水) 18:28:43) の１つ前との変更点
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= Riemann-Stieltjes積分 =
Riemann積分と無限和の統合
f,g : 区間 [a,b]上の有界実数値関数
[a,b] の分割 Δ に対し，Darboux和の類似を考える。
<math>s_{\Delta} := \sum_{k=1}^N f(\xi_k) (g(x_k) - g(x_{k-1}))</math>
where, <math>\xi_k \in [x_{k-1},x_k]</math> 任意
このとき，f の g による RS積分 を以下の極限値で定義する。
<math>\int_a^b f(x) dg(x) := \lim_{\mbox{mesh}(\Delta) \to 0} \sum_{k=1}^N f(\xi_k) (g(x_k) - g(x_{k-1}))</math>
'''Th. RS積分の存在条件'''
以下のいずれかの条件が成り立つとき，f の g による RS積分 が存在する。
1) f:連続かつg:有界変動
2) f:有界変動かつg:連続
'''Cor. R積分の存在条件'''
g(x) := x とすれば，f は有界変動または連続のとき R積分可能である。
'''Th. L積分のRS積分による表現（「ルベーグ積分は横切り」の定理）'''
μ : 測度
f : R→R; E上の可測関数
fのE上の分布関数
<math>\lambda(a) := \mu \left( \{ x \in E | f(x) > a\} \right)</math>
このとき，以下の成り立つことは，f∈L<sup>1</sup>(E)と同値
<math>\inf_E f d \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x d\lambda(x) </math>
= Lebesgue-Stieltjes積分 =
Radon によるStieltjes積分の一般化
'''Lebesgue-Stieltjes測度'''
φ:右連続単調増加関数
μ:有界区間上有限なボレル測度
φとμは，以下の関係によって一対一に対応する。
<math>\mu((a,b]) = \phi(b)-\phi(a)</math>
これを'''LS測度'''といい，μ<sub>φ</sub>で表す。
μ<sub>φ</sub>による積分を
<math>\int_E f d \mu_\phi, \int_E f d_\phi</math>
と書く。
'''Rem. Lebesgue積分'''
φ(x)=x のときはL積分である。
'''Th.置換積分との関係'''
I:有界閉区間
f:I上のボレル可測関数
φ:絶対連続
このとき，以下が成り立つ。
<math>\int_I fd\phi = \int_I f \phi' dx</math>
'''Th.RS積分との関係'''
I=[a,b]:有界閉区間
f:連続
このとき，RS積分はLS積分に等しい。
<math>\int_I fd\phi = \lim_{|\Delta| \to 0}\sum_{j=1}^N f(\xi_j) (\phi(\x_j)-\phi(\x_{j-1}))</math>
<math>\Delta : a=x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b</math>
<math>\xi_j \in [x_{j-1},x_j]</math> : 任意
= Stieltjes積分と置換積分と線積分と変数変換の違い =
= Riemann-Stieltjes積分 =
Riemann積分と無限和の統合
f,g : 区間 [a,b]上の有界実数値関数
[a,b] の分割 Δ に対し，Darboux和の類似を考える。
<math>s_{\Delta} := \sum_{k=1}^N f(\xi_k) (g(x_k) - g(x_{k-1}))</math>
where, <math>\xi_k \in [x_{k-1},x_k]</math> 任意
このとき，f の g による RS積分 を以下の極限値で定義する。
<math>\int_a^b f(x) dg(x) := \lim_{\mbox{mesh}(\Delta) \to 0} \sum_{k=1}^N f(\xi_k) (g(x_k) - g(x_{k-1}))</math>
'''Th. RS積分の存在条件'''
以下のいずれかの条件が成り立つとき，f の g による RS積分 が存在する。
1) f:連続かつg:有界変動
2) f:有界変動かつg:連続
'''Cor. R積分の存在条件'''
g(x) := x とすれば，f は有界変動または連続のとき R積分可能である。
'''Th. L積分のRS積分による表現（「ルベーグ積分は横切り」の定理）'''
μ : 測度
f : R→R; E上の可測関数
fのE上の分布関数
<math>\lambda(a) := \mu \left( \{ x \in E | f(x) > a\} \right)</math>
このとき，以下の成り立つことは，f∈L<sup>1</sup>(E)と同値
<math>\inf_E f d \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x d\lambda(x) </math>
= Lebesgue-Stieltjes積分 =
Radon によるStieltjes積分の一般化
'''Lebesgue-Stieltjes測度'''
φ:右連続単調増加関数
μ:有界区間上有限なボレル測度
φとμは，以下の関係によって一対一に対応する。
<math>\mu((a,b]) = \phi(b)-\phi(a)</math>
これを'''LS測度'''といい，μ<sub>φ</sub>で表す。
μ<sub>φ</sub>による積分を
<math>\int_E f d \mu_\phi, \int_E f d_\phi</math>
と書く。
'''Rem. Lebesgue積分'''
φ(x)=x のときはL積分である。
'''Prop. 規格化有界変動関数への拡張'''
LS測度を作るφは，右連続単調増加関数にとるのが一般的であるが，
盛田『実解析と測度論の基礎』では有界変動関数まで拡張して定義していた。
Riemann-Stieltjes積分では初めからBVに対して定義する本が多いが，
盛田のLS積分の値は（だいたいの場合）ちゃんとRS積分と一致する。
ちなみに具体的な計算はRS積分の定義でないと計算できないことはLebesgue積分の常。
'''Th.置換積分との関係'''
I:有界閉区間
f:I上のボレル可測関数
φ:絶対連続
このとき，以下が成り立つ。
<math>\int_I fd\phi = \int_I f \phi' dx</math>
'''Th.RS積分との関係'''
I=[a,b]:有界閉区間
f:連続
このとき，RS積分はLS積分に等しい。
<math>\int_I fd\phi = \lim_{|\Delta| \to 0}\sum_{j=1}^N f(\xi_j) (\phi(\x_j)-\phi(\x_{j-1}))</math>
<math>\Delta : a=x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b</math>
<math>\xi_j \in [x_{j-1},x_j]</math> : 任意
= Stieltjes積分と置換積分と線積分と変数変換の違い =
