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環論 - (2011/05/21 (土) 18:45:32) のソース
群以上，体以下
特に，整域は環以上体以下
= 環 =
'''Def. 環(ring)'''
(R,＋,×)は'''割り算ができない。'''
R1. ＋に関して加法群
R2. ×に関して半群（結合律のみ）またはモノイド（単位・結合）
R3. 分配律
<math>a(b+c)=ab+ac</math>
<math>(a+b)c=ac+bc</math>
さらに次が成り立つとき，'''可換環'''という。
R2'. ×の可換律
※ 積の逆元が保障されていないので'''群ではない。'''
がんばっても積は''可換モノイド''としか言いようがない。
※ 積が群になったら，'''体'''に昇格↑
'''Ex. 可換環'''
1. 整数環とその拡張が代表的
<math>(\mathbb{Z},+,\times),(\mathbb{Q},+,\times),(\mathbb{R},+,\times),(\mathbb{C},+,\times)</math>
2. 多項式環は項等多項式1を単位元として環
<math>Z[x]</math>
'''Ex. 非可換環'''
1. 正方行列の全体
<math>(\mathrm{Mat}(n,K),+,\dot)</math>
'''Ex. 有限な環'''
1. トリビアルな例
<math>{0}</math>
2. 剰余類環はrを法とする演算で可換環
<math>\mathbb{Z}_r := \{ 0,1,\cdots,r-1\}</math>
== 整域 ==
約数とか因数分解を考える意味がある環（特にUFD）
'''Def. 整域 domain'''
可換環Rが整域であるとは，零因子を持たないことをいう。
<math>{}^\forall x,y \in R \quad xy=0 \Rightarrow x=0 \mbox{ or } y=0</math>
'''Ex. 整数環は整域'''
'''Prop. 体は整域'''
証明は，xy=0 かつ x,y≠0 と仮定して，逆元1/xyがとれるのでこれをかけて0=1を導く。
'''Prop. 体上の多項式環K[X]は整域'''
'''Th. 整数環のイデアルI'''
Iが整数環Rのイデアルであるための必要十分条件は，
Iの正の最小元をr>0として，
<math>{}^\forall a \in I {}^\exists k \in \mathbb{Z} \Rightarrow a=kr</math>
が成り立つことである。
== イデアル ==
'''Def. イデアル'''
R可換環；I⊂RがRのイデアルであるとは，
1. <math>x,y \in I \Rightarrow x-y \in R</math>
2. <math>x \in I, a \in R \Rightarrow ax \in I</math>
i.e. 和とスカラー倍に対して閉じている。
'''注. 部分群との違い'''
a∈S かつ b∈S → ab∈S
a∈I または b∈I → ab∈I
'''Ex. 偶数の全体は整数のイデアル'''
'''Prop. '''
RのイデアルI,Jに対し，以下は再びイデアル
1. 交わり <math>I \cap J</math>
2. 積 <math>IJ := \langle fg | f\in I, g \in J \rangle </math>
3. 和 <math>I + J := \langle I,J\rangle</math>
特に，以下が成り立つ。
<math>IJ \subset I \cap J</math>
'''Def. イデアルの基底'''
R⊃S := {f<sub>1</sub>,...,f<sub>m</sub>} に対し，
次で定義される集合はイデアルとなり，Sが'''生成するイデアル'''という。
<math> \langle f_1, \cdots, f_m \rangle := \{ a_1 f_1 + \cdots a_m f_m | f_i \in S,\, a_i \in R\}</math>
これを単に<math>\langle S \rangle</math>で表し，Sを'''イデアルの基底'''という。
<math>\langle S \rangle</math>はSを含む'''最小のイデアル'''である。
１つの元から生成されるイデアルを'''単項イデアル'''という。
'''Def. 単項イデアル整域 PID'''
可換環Aにおいて，任意のイデアルが単項イデアルになるとき，'''単項イデアル環'''という。
さらにAが整域であるときは'''単項イデアル整域'''という。
'''Th. K[x]はPID'''
i.e. 体K上の一変数多項式環K[x]
== 環の準同型 ==
準同型なら，一方の性質が他方に伝染する。
準同型定理が重要。核とか。
イデアルによる剰余環を考えているとき，元に剰余類を対応させる写像を'''自然な準同型'''という。
''[[同型と同相]]を参照''
= 可換環 =
'''Def. 素イデアル'''
'''Def. 準素イデアル'''
'''Def. 極大イデアル'''
'''Def. 一意分解整域 UFD'''
'''Prop. PIDならばUFD'''
'''Def. 最大公約数 GCD'''
'''Th. '''
R：PIDにおいて，m,n∈RのGCDをdとする。
以下を満たすλ,μ∈Rが存在する。
<math>\lambda m + \mu n =d</math>
特に，m,nが互いに素であるための必要十分条件は，次を満たすλ,μがとれることである。
<math>\lambda m + \mu n =1</math>
== R加群 ==
'''Def. 加群'''
'''Ex. イデアル'''
'''Ex. ベクトル空間'''
