環論

群以上，体以下
特に，整域は環以上体以下

環

Def. 環(ring)
(R,＋,×)は割り算ができない。
R1. ＋に関して加法群
R2. ×に関して半群（結合律のみ）またはモノイド（単位・結合）
R3. 分配律
   
   

さらに次が成り立つとき，可換環という。
R2'. ×の可換律

※ 積の逆元が保障されていないので群ではない。
がんばっても積は可換モノイドとしか言いようがない。
※ 積が群になったら，体に昇格↑

Ex. 可換環
1. 整数環とその拡張が代表的

2. 多項式環は項等多項式1を単位元として環

Ex. 非可換環
1. 正方行列の全体

Ex. 有限な環
1. トリビアルな例

2. 剰余類環はrを法とする演算で可換環

整域

約数とか因数分解を考える意味がある環（特にUFD）

Def. 整域 domain
可換環Rが整域であるとは，零因子を持たないことをいう。

Ex. 整数環は整域

Prop. 体は整域
証明は，xy=0 かつ x,y≠0 と仮定して，逆元1/xyがとれるのでこれをかけて0=1を導く。

Prop. 体上の多項式環K[X]は整域

Th. 整数環のイデアルI
Iが整数環Rのイデアルであるための必要十分条件は，
Iの正の最小元をr>0として，

が成り立つことである。

イデアル

Def. イデアル
R可換環；I⊂RがRのイデアルであるとは，
1. 
2. 
i.e. 和とスカラー倍に対して閉じている。
注. 部分群との違い
  a∈S かつ b∈S → ab∈S
  a∈I または b∈I → ab∈I

Ex. 偶数の全体は整数のイデアル

Prop. 
RのイデアルI,Jに対し，以下は再びイデアル
1. 交わり 
2. 積 
3. 和 
特に，以下が成り立つ。

Def. イデアルの基底
R⊃S := {f1,...,fm} に対し，
次で定義される集合はイデアルとなり，Sが生成するイデアルという。

これを単にで表し，Sをイデアルの基底という。
はSを含む最小のイデアルである。
１つの元から生成されるイデアルを単項イデアルという。

Def. 単項イデアル整域 PID
可換環Aにおいて，任意のイデアルが単項イデアルになるとき，単項イデアル環という。
さらにAが整域であるときは単項イデアル整域という。

Th. K[x]はPID
i.e. 体K上の一変数多項式環K[x]

環の準同型

準同型なら，一方の性質が他方に伝染する。
準同型定理が重要。核とか。
イデアルによる剰余環を考えているとき，元に剰余類を対応させる写像を自然な準同型という。
同型と同相を参照

可換環

Def. 素イデアル
Def. 準素イデアル
Def. 極大イデアル

Def. 一意分解整域 UFD

Prop. PIDならばUFD

Def. 最大公約数 GCD

Th. 
R：PIDにおいて，m,n∈RのGCDをdとする。
以下を満たすλ,μ∈Rが存在する。

特に，m,nが互いに素であるための必要十分条件は，次を満たすλ,μがとれることである。

R加群

Def. 加群
Ex. イデアル
Ex. ベクトル空間