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測度論 - (2011/04/23 (土) 17:24:00) のソース
具体的に計算するアルゴリズムを持たない解析学として，発表当時(1902)は内外から批判も受けた。
測度論が可算集合列に対して柔軟に対応できることから，積分と極限の交換に威力を発揮する。
また，測度零の定義が上手くいったこともL積分論が成功したポイント。
基本図形の測り方をどう決めるか，がLebesgue積分にどう現れるかというと，
<math>\int_I d\mu = \mu(I) := |b-a|</math>
外測度を具体的に定義してしまえば，そこから積分を構成できる。というが基本思想。
いつもできるかどうかは知らん。Stieltjes積分ならできるんじゃないの。
<math>\int_\Omega f d\mu</math> という書き方には注意が必要である。
実際，測度μとして'''数え上げ測度'''をとり，台集合Ωとして'''自然数N'''をとれば，これは <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> を意味する。
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= 一般の測度の構成法 =
<math>\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X), \quad \emptyset, X \in \mathcal{E}</math> 基本図形
<math>\rho : \mathcal{E} \to [0, \infty], \quad \rho( \emptyset ) = 0</math> 基本図形の測り方
ρから外測度νを構成し，さらにνを制限して測度μを構成する。
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= 測度論 =
== 有限加法族 ==
<math>\mathcal{S} \subset \mathcal{P}(X)</math>
i. <math>\emptyset, X \in \mathcal{S}</math> (←ii, iii から導くことができる。)
ii. <math>A \in \mathcal{S} \ \Rightarrow \ A^c \in \mathcal{S}</math>
iii. <math> A, B \in \mathcal{S} \ \Rightarrow \ A \cup B \in \mathcal{S}</math>
== 完全加法族 ==
'''完全加法族'''
<math>\mathcal{S} \subset \mathcal{P}(X)</math>
i. <math>\emptyset, X \in \mathcal{S}</math> (←ii, iii から導くことができる。)
ii. <math>A \in \mathcal{S} \ \Rightarrow \ A^c \in \mathcal{S}</math> ←かなりしばりの強い要請
iii. <math> \{ A_j \}_{j=1}^\infty \subset \mathcal{S} \ \Rightarrow \ \bigcup_{j=1}^\infty A_j \in \mathcal{S}</math>
ここで'''加法'''とは，集合の和を積として加法群(アーベル群)になることを示す。
'''Aを含む最小の完全加法族'''
<math> \{ \emptyset,A,A^c,X \} </math>
'''3点集合上の完全加法族'''
<math>X = \{ a, b, c\}</math>
1. <math>\mathcal{S}_\mathrm{trivial} = \{ \emptyset, X \}</math>
2. <math>\mathcal{S}_\mathrm{strongest} = \mathcal{P}(X)</math>
3-a. <math>\mathcal{S}_a = \{ \emptyset, \{ a \}, \{ b, c \}, X \}</math>
3-b. <math>\mathcal{S}_b = \{ \emptyset, \{ b \}, \{ c, a \}, X \}</math>
3-c. <math>\mathcal{S}_c = \{ \emptyset, \{ c \}, \{ a, b \}, X \}</math>
'''Rem. '''
完全加法族は開集合系の公理を満たす。
== 測度 ==
'''測度'''
<math>X</math> set
<math>\mathcal{S} \subset \mathcal{P}(X)</math> σ-algebra on X
<math>\mu : \mathcal{S} \to [0, \infty]</math>
i. <math>\mu( \emptyset ) = 0</math>
ii. <math>\{ E_j \}_{j=1}^\infty</math> disjoint sets に対して，
<math>\mu \left( \bigcup E_j \right) = \sum \mu \left( E_j \right)</math>
== 外測度 ==
'''外測度'''
<math>\nu : \mathcal{P}(X) \to [0, \infty]</math>
i. <math>\nu( \emptyset ) = 0</math>
ii. <math>E \subset F \Rightarrow \nu( E ) \leq \nu( F )</math>
iii. <math>\{ E_j \}_{j=1}^\infty</math> 集合列に対して，
<math>\nu \left( \bigcup E_j \right) \leq \sum \mu \left( E_j \right)</math> ← disjoint sets であったとしても必ずしも等号は成り立たない。
== σ有限 ==
全空間が測度有限集合による高々可算被覆をもつこと。
<math>X = \bigcup_{n=1}^\infty E_n, \quad \mu(E_n)<\infty</math>
可分性と類似の概念。
Rにルベーグ測度を入れればσ有限だが，数え上げ測度を入れるとσ有限にならない。
== 可測集合 ==
外測度νに対し，Xの部分集合Eが以下に示す条件を満たすとき，ν-可測集合であるという。
'''Caratheodoryの条件'''
<math>\nu(E) = \nu(A \cap E) + \nu(A \setminus E) \quad ({}^\forall A \in \mathcal{P}(X))</math>
外測度の劣加法性から，≦は常に成り立つことに注意。
特に外測度としてLebesgue外測度m*を用いたときは，Lebesgue可測集合という。
Lebesgue可測集合の全体を<math>\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)</math>で書く。
== Borel集合族 ==
'''Def. Borel集合体（-集合族，-σ加法族，-クラス）'''
位相空間(X,O)のボレル集合族とは，Oで生成される最小のσ加法族のことをいい，
<math>\mathcal{B}[\mathcal{O}]</math>とか<math>\sigma(\mathcal{O})</math>あるいは<math>\mathcal{B}(X)</math>などと書く。ボレル集合族の元をボレル（可測）集合という。
Xの閉集合系をF, コンパクト集合系をKとすれば，<math>\mathcal{B}[\mathcal{O}]=\mathcal{B}[\mathcal{F}] \supset \mathcal{B}[\mathcal{K}]</math>が成り立つ。
最後の包含関係は，Xがσコンパクトのとき等号になる。
'''Def. σコンパクト'''
以下を満たす可算個のコンパクト集合列{Kn}がとれるとき，Xはσコンパクトであるという。
<math>X=\bigcup_{n=1}^\infty K_n</math>
'''Th. Borel集合体の存在'''
Xの集合族Eに対し，Eを含む最小の完全加法族は唯一存在する。
[証明]は，Eを含む完全加法族を全て集めたものをSとして，Sの共通部分∩Sをとればよい。
Xの冪集合P(X)はEを含む（最大の）完全加法族になるから，Sは少なくとも１つの元を含むことが分かる（空でない）。
従って∩Sは意味を為す。
'''Def. R<sup>d</sup>のBorel集合体'''
通常，以下のいずれかの集合族から生成されるものを使う。
1. ''基本図形''（左半開区間）の全体 E
2. 通常の開集合系 O
3. 通常の閉集合系 F
4. コンパクト集合の全体 K
４つのうちどれを使っても，得られる集合体は同じである。
<math>\mathcal{B}[\mathcal{E}] = \mathcal{B}[\mathcal{O}] = \mathcal{B}[\mathcal{F}] = \mathcal{B}[\mathcal{K}]</math>
'''Def. GδとFσ'''
1. 可算個の開集合の共通部分として表される集合を<math>G_\delta {\rm -set}</math>という。
2. 可算個の閉集合の和集合として表される集合を<math>F_\sigma {\rm -set}</math>という。
'''Lebesgue可測集合Mの正体'''
1. <math>\mathcal{M}(\mathbb{R}^d) = \mathcal{B}[\mathcal{N}(\mathbb{R}^d),\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)]</math> ボレル集合族に零集合を付け加えた最小のσ加法族
2. <math>{}^\forall E \in \mathca{M} \ {}^\exists G \in G_\delta \ {}^\exists N \in \mathcal{N}\quad \mbox{ s.t.} \quad E = G \setminus N, \ m(E)=m(G)</math>
2. <math>{}^\forall E \in \mathca{M} \ {}^\exists F \in F_\sigma \ {}^\exists N \in \mathcal{N}\quad \mbox{ s.t.} \quad E = F \cup N, \ m(E)=m(F)</math>
==Borel測度==
'''Borel測度'''
位相空間XのBorel集合上定義された測度μのこと。
さらに，任意のコンパクト集合Kに対して μ(K)<∞ を要請する本もある。←猪狩本
'''Radon測度'''
(R<sup>d</sup>の場合)任意のコンパクト集合Kに対して有限値μ(K)<∞をとるボレル測度μのこと。
厳密には以下の３つを満たすBorel集合上定義された正測度のこと。
1. （狭義の）Borel測度 <math>K \mbox{ : Compact} \quad \Rightarrow \quad \mu(K) < \infty</math>
2. 外正則 <math>\mu(E) = \inf \{ \mu(O) | E \subset O, \ O \mbox{ : open set}\}</math>
3. 内正則 <math>\mu(E) = \sup \{ \mu(K) | K \subset E, \ K \mbox{ : compact set}\}</math>
'''Th. Radon測度の正体'''
区間IのRadon測度に対し，あるI上定義された右連続単調増加関数φがあって，
φによるLebesgue-Stieltjes測度と一致する。
'''Lebesgue測度はRadon測度である。'''
== Lebesgue測度 ==
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== Lebesgue積分 ==
== 可測関数 ==
単関数
階段関数
正値関数
== 可積分関数 ==
