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上限をとる - (2010/11/08 (月) 23:38:43) のソース
=上限の特徴付け=
<math>S \subset \mathbb{R}</math>
<math>m \in \mathbb{R}</math> が S の上限であるとは，
1. <math>^\forall x \in S \quad x \leq m</math>
2. <math>^\forall \epsilon \ ^\exists x \in S \quad m-\epsilon < x</math>
sup とは，実数の部分集合に対して定義される，実数値集合汎関数である。
<math>\sup : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}; \ S \mapsto \sup S</math>
従って特に，以下のような書き方に惑わされないように注意する。
<math>\sup \{ q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2 \} = \sqrt{2}</math>
=関数の場合=
<math>f : X \to \mathbb{R}</math>
<math>\sup_{x \in X} f(x) := \sup \{ f(x) | x \in X \}</math>
定義の右辺に現れる "sup" は実数の部分集合に対して定義された sup であることに注意。
<math>I \subset \mathbb{R} </math> 区間
<math>\sup_{x \in I} f(x) = b</math> と分かったら
<math>^\forall \epsilon >0 \ ^\exists x_\epsilon \in I \quad \mbox{s.t.} \ f(x_\epsilon) > b-\epsilon</math> 必ずしも等号にはできない！
=一般の集合の場合=
<math>\inf_{x \in E} x = - \sup_{x \in E} (-x)</math>
