nopu@wiki
nopu@wiki

上限をとる

上限の特徴付け

S \subset \mathbb{R}
m \in \mathbb{R} が S の上限であるとは，
1. ^\forall x \in S \quad x \leq m
2. ^\forall \epsilon \ ^\exists x \in S \quad m-\epsilon < x

sup とは，実数の部分集合に対して定義される，実数値集合汎関数である。
\sup : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}; \ S \mapsto \sup S

従って特に，以下のような書き方に惑わされないように注意する。
\sup \{ q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2 \} = \sqrt{2}

関数の場合

f : X \to \mathbb{R}
\sup_{x \in X} f(x) := \sup \{ f(x) | x \in X \}
定義の右辺に現れる "sup" は実数の部分集合に対して定義された sup であることに注意。

I \subset \mathbb{R}  区間
\sup_{x \in I} f(x) = b と分かったら

^\forall \epsilon >0 \ ^\exists x_\epsilon \in I \quad \mbox{s.t.} \ f(x_\epsilon) > b-\epsilon 必ずしも等号にはできない！

一般の集合の場合

\inf_{x \in E} x = - \sup_{x \in E} (-x)
「上限をとる」をウィキ内検索
最終更新：2010年11月08日 23:38
ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。