「行列ノルムいろいろ」の編集履歴（バックアップ）一覧に戻る
行列ノルムいろいろ - (2011/09/27 (火) 14:06:02) のソース
=フロベニウスノルム(ベクトルと同一視した場合のノルム)=
あまりおもしろくない。
<math>\| A \|_F = \sqrt{\mathrm{tr} \left( A^\mathrm{T} A \right)} = \sqrt{ \sum_{i,j} |a_{ij}|^2 } = \sqrt{ \sum_i \sigma_i^2 }</math>
フロベニウス内積から誘導されるノルムである。
<math>\langle A,B \rangle_F := \mathrm{tr}(A^* B)</math>
=作用素ノルム (誘導ノルム、線形作用素としてのノルム, induced norm)=
ベクトルノルムの取り方次第で無数にある。
<math>\| A \| := \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|_q}{\|x\|_p}</math>
<math>\| A \|_1 = \max_j \{ \sum_i |a_{ij}| \}</math> (p=q=1) 最大絶対列和
<math>\| A \|_2 = \sigma_\max</math> 最大特異値
<math>\| A \|_\infty = \max_i \{ \sum_j |a_{ij}| \}</math> (p=q=∞) 最大絶対行和
'''定理''' 劣乗法性
A, Bは積が定義できればサイズが異なってもよいが、
Aのrangeのノルムと、Bのimageのノルムは同じでなければならない。
<math>\| AB \| \leq \|A\|\|B\|</math>
特に2ノルムをとれば、以下の抑えこみを得る。
<math>\sigma_{\max( A^k )} \leq \sigma_{ \max ( A ) }^k</math>
=スペクトル半径=
以下では、ノルムは作用素ノルムを表すこととする。
'''定義''' 固有値の絶対値の最大値
<math>\rho(A) := \max_i |\lambda_i|</math>
'''定理''' 作用素ノルムによる抑えこみ
<math>\rho(A) \leq \| A \|</math>
特に、2ノルムをとれば、最大特異値との関係を得る。
<math>\rho(A) \leq \sigma_\max</math>
'''補題''' 特異値との違い（劣乗法性の項参照）に注目
<math>\rho(A^k) = \rho(A)^k</math>
これはフロベニウスの定理から従う。
'''定理'''
<math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty} \| A ^k\| ^ \frac{1}{k}</math>
=Gershgorin circle theorem=
'''定理''' 作用素ノルムと正則性の関係
正方行列Aの作用素ノルムが1未満のとき、I-Aは正則である。
実際、Aのスペクトル半径は作用素ノルムで抑えられるから、特に1より小さい。
従って1はAの固有値でないから、det|I-A|≠0。すなわち正則である。
'''対偶'''
I-A が正則でなければ、Aの作用素ノルムは1以上である。
'''Gershgorin circle theorem'''
正方行列 A の第i行ベクトルに対し、
<math>D_i := \left \{ s \Big| |s-a_{ii}| \leq \sum_{j \neq i} |a_{ij}| \right \}</math>
とおく。
Aの固有値は、<math>\cup_i D_i</math>に含まれる。
