nopu@wiki
nopu@wiki

行列ノルムいろいろ

フロベニウスノルム(ベクトルと同一視した場合のノルム)

あまりおもしろくない。
\| A \|_F = \sqrt{\mathrm{tr} \left( A^\mathrm{T} A \right)} = \sqrt{ \sum_{i,j} |a_{ij}|^2 } = \sqrt{ \sum_i \sigma_i^2 }

フロベニウス内積から誘導されるノルムである。
\langle A,B \rangle_F := \mathrm{tr}(A^* B)

作用素ノルム (誘導ノルム、線形作用素としてのノルム, induced norm)

ベクトルノルムの取り方次第で無数にある。
\| A \| := \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|_q}{\|x\|_p}

\| A \|_1 = \max_j \{ \sum_i |a_{ij}| \} (p=q=1) 最大絶対列和
\| A \|_2 = \sigma_\max 最大特異値
\| A \|_\infty = \max_i \{ \sum_j |a_{ij}| \} (p=q=∞) 最大絶対行和

定理 劣乗法性
A, Bは積が定義できればサイズが異なってもよいが、
Aのrangeのノルムと、Bのimageのノルムは同じでなければならない。
\| AB \| \leq \|A\|\|B\|
特に2ノルムをとれば、以下の抑えこみを得る。
\sigma_{\max( A^k )} \leq \sigma_{ \max ( A ) }^k

スペクトル半径

以下では、ノルムは作用素ノルムを表すこととする。

定義 固有値の絶対値の最大値
\rho(A) := \max_i |\lambda_i|

定理 作用素ノルムによる抑えこみ
\rho(A) \leq \| A \|
特に、2ノルムをとれば、最大特異値との関係を得る。
\rho(A) \leq \sigma_\max

補題 特異値との違い（劣乗法性の項参照）に注目
\rho(A^k) = \rho(A)^k
これはフロベニウスの定理から従う。

定理
\rho(A) = \lim_{k \to \infty} \| A ^k\| ^ \frac{1}{k}

Gershgorin circle theorem

定理 作用素ノルムと正則性の関係
正方行列Aの作用素ノルムが1未満のとき、I-Aは正則である。
実際、Aのスペクトル半径は作用素ノルムで抑えられるから、特に1より小さい。
従って1はAの固有値でないから、det|I-A|≠0。すなわち正則である。

対偶
I-A が正則でなければ、Aの作用素ノルムは1以上である。

Gershgorin circle theorem
正方行列 A の第i行ベクトルに対し、
D_i := \left \{ s \Big| |s-a_{ii}| \leq \sum_{j \neq i} |a_{ij}| \right \}
とおく。
Aの固有値は、\cup_i D_iに含まれる。
「行列ノルムいろいろ」をウィキ内検索
最終更新：2011年09月27日 14:06
ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。