内積の公理

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内積の公理 - (2011/04/30 (土) 17:43:51) のソース

 <math>V</math> m-dim vector space
 <math>g \in L( V \times V, \mathbb{R} )</math> bilinear map is a '''positive definite inner product''' when
 (i) <math>g( x, y ) = g(y, x)</math>
 (ii) <math>g(x, x) \geq 0; \quad g(x,x)=0 \Leftrightarrow x=0</math>

 内積が入ると，
 1. 直交が定義できる。
 2. 角度が定義できる。
 3. ノルムを誘導できる。
 4. 体積を誘導できる。
    i.e. <math>\mu_g(v_1, \cdots, v_r) := \sqrt{ \det( g( v_i, v_j ) ) }</math>

 線形性の制約から，基底どうしの内積を定めることで，内積自体が決まってしまう。
 <math>g_{ij} = g( e_i, e_j )</math>

 '''Th. Riesz representation theorem'''
 <math>(V,g)</math> inner space
 for all <math>f \in V^*</math> there exists <math>x_f \in V</math>
 such that <math>g( x, x_f ) = f(x)</math> for all <math>x \in V</math>