連続を示す

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連続を示す - (2011/05/08 (日) 02:23:40) のソース

=近傍を使う=
 近傍の逆像が近傍になる。
 '''Def.一点xでの連続'''
 <math>{}^\forall N \subset Y \quad N \in \mathcal{N}_Y(f(x)) \Rightarrow f^{-1}(N) \in \mathcal{N}_X(x)</math>

 実は基本近傍系についてのみ示せば十分である。
 <math>{}^\forall L \in \mathcal{L}_Y(f(x)) \Rightarrow f^{-1}(L) \in \mathcal{N}_X(x)</math>
 実際，このとき任意の近傍<math>N \in \mathcal{N}_Y(f(x))</math>に対して<math>L \subset N</math>なる基本近傍をとることができて，
 仮定から<math>f^{-1}(L) \in \mathcal{N}_X(x)</math>
 一方，包含関係は写像によって保たれるから<math>f^{-1}(L) \subset f^{-1}(N)</math>
 従って，近傍系の公理によって<math>f^{-1}(N) \in \mathcal{N}_X(x)</math>

=開集合を使う=
 開集合の逆像が開集合であることを示すのが基本。
 <math>f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)</math>
 <math>{}^\forall U \in \mathcal{O}_Y \quad f^{-1}(U) \in \mathcal{O}_X</math>

 実は開基についてのみ示せば十分である。
 <math>\mathcal{B}_Y \subset \mathcal{O}_Y</math> open base
 <math>{}^\forall B \in \mathcal{B}_Y \quad f^{-1}(B) \in \mathcal{O}_X</math>
 実際，開基の定義より任意の<math>U \in \mathcal{O}_Y</math>は<math>O = \bigcup B_\lambda</math>と書くことができるので，
 <math>f^{-1}(U) = f^{-1}\left( \bigcup B_\lambda \right) = \bigcup f^{-1} ( B_\lambda ) \in \mathcal{O}_X</math>
 とできる。

 ※開写像についても同様
 一般の集合と写像の性質として，
 <math>f(\bigcup B_\lambda) = \bigcup f( B_\lambda )</math>
 がなりたつため。

=点列を使う=
 第一可算なら，点列連続と連続は同値なので，こちらを示しても良い。
 <math>x_n \to x \ \Rightarrow \ f(x_n) \to f(x)</math>

 特に，距離空間は第一可算である。