連続を示す

近傍を使う

近傍の逆像が近傍になる。
Def.一点xでの連続

実は基本近傍系についてのみ示せば十分である。

実際，このとき任意の近傍に対してなる基本近傍をとることができて，
仮定から
一方，包含関係は写像によって保たれるから
従って，近傍系の公理によって

開集合を使う

開集合の逆像が開集合であることを示すのが基本。

実は開基についてのみ示せば十分である。
 open base

実際，開基の定義より任意のはと書くことができるので，

とできる。

※開写像についても同様
一般の集合と写像の性質として，

がなりたつため。

点列を使う

第一可算なら，点列連続と連続は同値なので，こちらを示しても良い。

特に，距離空間は第一可算である。