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射影行列 - (2011/05/17 (火) 22:57:07) のソース
==線形空間の射影==
V : 有限次元ユークリッド空間
<math>P : V \to V</math> transform が射影であるとは，
<math>P^2 = P</math> 冪等(idempotent)であることをいう。
このとき <math>\mathrm{id}_V - P</math> もまた射影であって，その像空間Im(I-P)は像空間Im(P)の補空間である。
<math>\mathrm{Im}(I-P) = \left( \mathrm{Im} P \right)^c</math>
従って，射影Pは元の空間Vを直和分解する。
<math>V = \mathrm{Im}P \oplus \mathrm{Im}(I-P)</math>
また逆に，任意の直和分解 <math>V = U \oplus W</math> に対して射影Pが存在する。
さらに，<math>\langle Px, y \rangle = \langle x, Py \rangle </math> Hermitian のとき直交射影であるという。
この条件は，行列としては Hermitian <math>P^*=P</math>であることを示す。
直交射影によって得られる補空間は直交補空間である。
'''Rem.'''
正方行列に対しては，全射ならば全単射であり，従って必ず逆写像が存在するから，切断を考える意味は失われる。
一方，一般の長方行列に対しては，全射であっても必ずしも単射でないから，切断を考えることができる。
'''Lem.'''
一般の長方行列 <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> と <math>B \in \mathbb{R}^{n \times m}</math> に対して，
<math>AB = I_m</math> ならば <math>BA = P_n</math> は Im B への射影行列である。
特に，dyadic product (outer product) は射影を与える。
<math>x y^\mathrm{T} ( c^1 y + c^2 y^\bot ) = c^1 \| y \|^2 x</math>
''[[dyadic product （外積, outer product）の性質]]参照''
==射影行列の構造と随伴基底==
''[[直交行列とユニタリ行列]]も参照''
V : n-dim linear space
<math>S = [ s_1, \cdots, s_n ]</math> : basis of V
i.e. <math>\mathrm{Span} S = V</math>
W : m-dim subspace of V
<math>B = [ b_1, \cdots, b_m ]</math> : basis of W
i.e. <math>\mathrm{Span} B = W</math>
<math>[ B \ B^c] = SA</math>
V上の線形写像で，その像がWになるものを考える。
<math>p : V \to W \subset V ; v \mapsto p(v) \in W</math>
射影の定義<math>p^2=p</math>と合わせて，以下を満たさなければならない。
<math>v \in W \ \Rightarrow \ p(v)=v</math>
<math>v \in W^c \ \Rightarrow \ p(v)=0 </math> ←<math>v \notin W</math> よりも強い条件！
==奥行きを考えた射影変換==
