射影行列

線形空間の射影

V : 有限次元ユークリッド空間
 transform が射影であるとは，
 冪等(idempotent)であることをいう。

このとき  もまた射影であって，その像空間Im(I-P)は像空間Im(P)の補空間である。

従って，射影Pは元の空間Vを直和分解する。

また逆に，任意の直和分解  に対して射影Pが存在する。

さらに， Hermitian のとき直交射影であるという。
この条件は，行列としては Hermitian であることを示す。
直交射影によって得られる補空間は直交補空間である。

Rem.
正方行列に対しては，全射ならば全単射であり，従って必ず逆写像が存在するから，切断を考える意味は失われる。
一方，一般の長方行列に対しては，全射であっても必ずしも単射でないから，切断を考えることができる。

Lem.
一般の長方行列  と  に対して，
 ならば  は Im B への射影行列である。

特に，dyadic product (outer product) は射影を与える。

dyadic product （外積, outer product）の性質参照

射影行列の構造と随伴基底

直交行列とユニタリ行列も参照
V : n-dim linear space
 : basis of V
  i.e. 
W : m-dim subspace of V
 : basis of W
  i.e. 

V上の線形写像で，その像がWになるものを考える。

射影の定義と合わせて，以下を満たさなければならない。

 ← よりも強い条件！

奥行きを考えた射影変換