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回路理論 - (2009/07/21 (火) 16:13:40) のソース
=３つの解放=
'''枝電流法'''
'''ループ電流法'''
'''節点方程式'''
=有用な方法=
'''電源の外し方'''
電圧源：短絡 = 抵抗０
電流源：開放 = 抵抗∞
'''重ね合わせの理'''
'''テブナンの定理'''
1. 開放電圧 V<sub>0</sub> を求める。（''全電流・全電圧の定理が使える''）
2. 電源をはずして，内部抵抗 R<sub>0</sub> を求める。
3. 回路は 内部抵抗R<sub>0</sub> を持つ 定電圧源V<sub>0</sub> とみなせる。
<math>I = \frac{V_0}{R+R_0}</math>
'''双対. ノートンの定理'''
'''系. 電源の相互変換'''
電圧源E の 内部抵抗r とする。
これをブラックボックスとすると，
内部抵抗r の 電流源 J := E/r と区別できない。
'''ミルマンの定理（全電圧の定理）'''
電圧源E<sub>i</sub>の内部コンダクタンスG<sub>i</sub>とする。
これらの電圧源が並列接続されているとき，トータルの開放電圧Vは，
<math>V = \frac{\sum_i E_i G_i}{\sum_i G_i}</math>
'''双対. 全電流の定理'''
電流源J<sub>i</sub>の内部抵抗R<sub>i</sub>とする。
これらの電流源が直列接続されているとき，トータルの短絡電流Iは，
<math>I = \frac{\sum_i I_i R_i}{\sum_i R_i}</math>
=回路素子=
電流・電圧の'''向きが重要'''である！！！
（以下では'''互いに逆向き'''になるようにとる）
'''キャパシタ'''
<math>v_C(t) = v_0 + \frac{1}{C} \int_{t_0}^t i(\tau) d \tau</math>
'''インダクタ'''
<math>v_L(t) = L \frac{d i(t)}{d t}</math>
=用語=
'''整合'''
内部抵抗rを持つ電源をつないでいるとき，負荷抵抗Rにおける消費電力を最大化すること。
'''電圧源'''の場合は，R=rとすればよい。
'''共振回路'''
'''Q値'''
=過渡現象=
同次方程式の解を'''基本解（過渡解）'''という。
積分定数が階数個入ってる階を'''一般解'''という。
適当な初期条件を突っ込んで，積分定数を固定した解を'''特殊解（定常解）'''という。
'''同次方程式'''
<math>p \left( \frac{d}{dt} \right) x(t) = 0</math>
1. 特性多項式による方法(<math>x=e^{\lambda t}</math>を仮定する方法)
'''非同次方程式'''
<math>p \left( \frac{d}{dt} \right) x(t) = g(t)</math>
''基本理論''
同次化したときの基本解をφ(t)とする。（これを'''余関数'''と呼ぶ。）
非同次方程式の１つの特殊解をψ(t)とすれば，一般解は φ(t)+ψ(t) で与えられる。
つまり，'''なんとかして特殊解（=定常解）さえ求めてしまえばよい！'''
1. 定数変化法による方法
余関数の任意定数Aを，未知関数y(t)に置き換えたものをψとする。
ψを元の方程式に代入して y(t)を１つ決定すれば，ψは特殊解になる。
2. 演算子法による方法
Dの多項式 p(D) に対して，次らへんを駆使していく。指数関数と相性がよいので，'''特に交流で有効'''。
線形作用素：<math>p(D)(ax(t)+by(t)) = a p(D)x(t) + b p(D) y(t)</math>
指数関数：<math>p(D) e^{\lambda t} x(t) = e^{\lambda t} p(D+\lambda)x(t)</math>
指数関数：<math>p(D)^{-1} e^{\lambda t} = p(\lambda) e^{\lambda t}</math>
=交流理論=
'''交流回路の方程式'''
<math>g(t) = \cos(\omega t)</math>に絞られる。
'''定常解だけ''' に興味がある。
i.e. なんとかして特殊解だけ求めてしまえばよい。
1. 電源をオイラーの公式で拡張
<math>p(D)x(t) = E \cos ( \omega t )</math>
<math> \rightarrow p(D)z(t) = E e ^{ j \omega t }</math>
計算には演算子法を使うとよい。
2. x(t)も決め打ちしてしまう。
<math>x(t) = \.{I} e^{j \omega t}</math>
結局，以下のようにオームの法則を拡張する結果になる。
<math> L \frac{d}{dt} \to j \omega L </math>
<math> \frac{1}{C} \int^t \dot d \tau \to \frac{1}{j \omega C}</math>
<math> p(D)i(t) = E \cos(\omega t)</math>
<math>\to p(D) \.{I}e^{j \omega t} = E e^{j \omega t}</math>
<math>\to p( j \omega ) \.{I} = E</math>
<math>\to \.{I} = \frac{E}{p( j \omega )}</math>
'''実効値・瞬時値'''
瞬時値（時間変動する）
<math>v(t) = V_m cos(\omega t)</math>
<math>i(t) = I_m cos(\omega t + \phi)</math>
実効値（定数！）
<math>V_e := \frac{V_m}{\sqrt{2}}</math>
<math>I_e := \frac{I_m}{\sqrt{2}}</math>
こうしておくと，'''iとvが同相(φ=0）'''のとき
<math>P_e := \frac{1}{T} \int^T_0 p(t) dt = \frac{V_m I_m}{2} = V_e I_e</math>
'''位相遅れ・進み'''
位相は'''電圧を基準に考える'''ので，
<math>\.{I} = k \.{V} e^{\phi - \theta}</math> となったら遅れ位相。
<math>\.{I} = k \.{V} e^{\phi + \theta}</math> となったら進み位相。
インダクタは90度遅れ，キャパシタは90度進みである。
'''フェーザ表示'''
瞬時値を複素表示にして，<math>e^{j \omega t}</math>を取っ払った残り。
<math>A := |A| e^{j(\omega t + \phi)} =: \.{A} e^{j \omega t}</math>
<math>\.{A} := |A| e^{j\phi}</math>
※ただし電流フェーザ・電圧フェーザでは，その大きさとして'''実効値'''を用いる。
<math>v(t) = \sqrt{2} \.{V} e^ {j \omega t }</math>
<math>i(t) = \sqrt{2} \.{I} e^ {j \omega t }</math>
このとき，以下が成り立つ。
1. （拡張した）オームの法則
2. キルヒホフの法則
'''種々の電力'''
以下で，θは電流の位相遅れとする。
有効電力（平均電力）
<math>P := \frac{1}{T} \int^T_0 p(t) dt = EI \cos \theta</math>
→ S := EI を'''皮相電力'''という。
→ cos θ を'''力率'''という。
複素電力
<math>\.{S} := \.{E} \bar{\.{I}}</math>
とおけば，以下が成り立つ。
<math>P = \Re \.{S}</math>
→ <math>Q := \Im \.{S} = EI \sin \theta</math> を無効電力という。
有効電力は R で'''消費される'''電力，無効電力は C,L に'''蓄えられる'''電力である。
=二端子対回路=
ブラックボックスは，
1. '''線形素子'''からなる。
2. '''電源を含まない。'''
'''可逆定理（相反定理）'''
二端子対回路において，
入力電圧E に対して 出力電流I ならば，
入力電流I に対して 出力電圧E になる。
※相反定理の成り立つ回路を相反回路という。
'''Zパラメータ（インピーダンス行列）'''
両側に電流源を印加したときの電圧
直列接続はZ行列の和になる。
<math>\begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} = \left [ Z \right ] \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix}</math>
<math>\mathbf{V} = \mathbf{Z I}</math>
'''Yパラメータ（アドミタンス行列）'''
両側に電圧源を印加したときの電流
並列接続はY行列の和になる。
Zの逆行列
<math>\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \left [ Y \right ] \begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix}</math>
<math>\mathbf{I} = \mathbf{Y V}</math>
'''hパラメータ（ハイブリッド行列）'''
左から電流源，右から電圧源を印加したときの左と右の出力
トランジスタ回路で使う。
<math>\begin{pmatrix} V_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \left [ h \right ] \begin{pmatrix} I_1 \\ V_2 \end{pmatrix}</math>
'''Fパラメータ（縦続行列）'''
右から電圧源と電流源を印加した場合の，左の出力
I<sub>2</sub>の'''向きがこいつだけ逆（ブラックボックスから出てくる向き）'''
縦続接続はF行列の積になる。
<math>\begin{pmatrix} V_1 \\ I_1 \end{pmatrix} = \left [ F \right ] \begin{pmatrix} V_2 \\ \hat{I}_2 \end{pmatrix}</math>
=分布乗数回路=
'''電信方程式'''
=磁気回路=
'''相互インダクタンスの処理'''
