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回路理論

３つの解放

枝電流法

ループ電流法

節点方程式

有用な方法

電源の外し方
電圧源：短絡 = 抵抗０
電流源：開放 = 抵抗∞

重ね合わせの理

テブナンの定理
1. 開放電圧 V0 を求める。（全電流・全電圧の定理が使える）
2. 電源をはずして，内部抵抗 R0 を求める。
3. 回路は 内部抵抗R0 を持つ 定電圧源V0 とみなせる。
I = \frac{V_0}{R+R_0}

双対. ノートンの定理

系. 電源の相互変換
電圧源E の 内部抵抗r とする。
これをブラックボックスとすると，
内部抵抗r の 電流源 J := E/r と区別できない。

ミルマンの定理（全電圧の定理）
電圧源Eiの内部コンダクタンスGiとする。
これらの電圧源が並列接続されているとき，トータルの開放電圧Vは，
V = \frac{\sum_i E_i G_i}{\sum_i G_i}

双対. 全電流の定理
電流源Jiの内部抵抗Riとする。
これらの電流源が直列接続されているとき，トータルの短絡電流Iは，
I = \frac{\sum_i I_i R_i}{\sum_i R_i}

回路素子

電流・電圧の向きが重要である！！！
（以下では互いに逆向きになるようにとる）

キャパシタ
v_C(t) = v_0 + \frac{1}{C} \int_{t_0}^t i(\tau) d \tau

インダクタ
v_L(t) = L \frac{d i(t)}{d t}

用語

整合
内部抵抗rを持つ電源をつないでいるとき，負荷抵抗Rにおける消費電力を最大化すること。
電圧源の場合は，R=rとすればよい。

共振回路
Q値

過渡現象

同次方程式の解を基本解（過渡解）という。
積分定数が階数個入ってる階を一般解という。
適当な初期条件を突っ込んで，積分定数を固定した解を特殊解（定常解）という。

同次方程式
p \left( \frac{d}{dt} \right) x(t) = 0
1. 特性多項式による方法(x=e^{\lambda t}を仮定する方法)

非同次方程式
p \left( \frac{d}{dt} \right) x(t) = g(t)
基本理論
同次化したときの基本解をφ(t)とする。（これを余関数と呼ぶ。）
非同次方程式の１つの特殊解をψ(t)とすれば，一般解は φ(t)+ψ(t) で与えられる。
つまり，なんとかして特殊解（=定常解）さえ求めてしまえばよい！

1. 定数変化法による方法
余関数の任意定数Aを，未知関数y(t)に置き換えたものをψとする。
ψを元の方程式に代入して y(t)を１つ決定すれば，ψは特殊解になる。

2. 演算子法による方法
Dの多項式 p(D) に対して，次らへんを駆使していく。指数関数と相性がよいので，特に交流で有効。
線形作用素：p(D)(ax(t)+by(t)) = a p(D)x(t) + b p(D) y(t)
指数関数：p(D) e^{\lambda t} x(t) = e^{\lambda t} p(D+\lambda)x(t)
指数関数：p(D)^{-1} e^{\lambda t} = p(\lambda) e^{\lambda t}

交流理論

交流回路の方程式
g(t) = \cos(\omega t)に絞られる。
定常解だけ に興味がある。
i.e. なんとかして特殊解だけ求めてしまえばよい。

1. 電源をオイラーの公式で拡張
p(D)x(t) = E \cos ( \omega t )
 \rightarrow p(D)z(t) = E e ^{ j \omega t }
計算には演算子法を使うとよい。

2. x(t)も決め打ちしてしまう。
x(t) = \.{I} e^{j \omega t}
結局，以下のようにオームの法則を拡張する結果になる。
 L \frac{d}{dt} \to j \omega L 
 \frac{1}{C} \int^t \dot d \tau \to \frac{1}{j \omega C}
 p(D)i(t) = E \cos(\omega t)
  \to p(D) \.{I}e^{j \omega t} = E e^{j \omega t}
  \to p( j \omega ) \.{I} = E
  \to \.{I} = \frac{E}{p( j \omega )}

実効値・瞬時値
瞬時値（時間変動する）
  v(t) = V_m cos(\omega t)
  i(t) = I_m cos(\omega t + \phi)
実効値（定数！）
  V_e := \frac{V_m}{\sqrt{2}}
  I_e := \frac{I_m}{\sqrt{2}}
こうしておくと，iとvが同相(φ=0）のとき
  P_e := \frac{1}{T} \int^T_0 p(t) dt = \frac{V_m I_m}{2} = V_e I_e

位相遅れ・進み
位相は電圧を基準に考えるので，
  \.{I} = k \.{V} e^{\phi - \theta} となったら遅れ位相。
  \.{I} = k \.{V} e^{\phi + \theta} となったら進み位相。
インダクタは90度遅れ，キャパシタは90度進みである。

フェーザ表示
瞬時値を複素表示にして，e^{j \omega t}を取っ払った残り。
A := |A| e^{j(\omega t + \phi)} =: \.{A} e^{j \omega t}
\.{A} := |A| e^{j\phi}
※ただし電流フェーザ・電圧フェーザでは，その大きさとして実効値を用いる。
v(t) = \sqrt{2} \.{V} e^ {j \omega t }
i(t) = \sqrt{2} \.{I} e^ {j \omega t }

このとき，以下が成り立つ。
  1. （拡張した）オームの法則
  2. キルヒホフの法則

種々の電力
以下で，θは電流の位相遅れとする。
有効電力（平均電力）
  P := \frac{1}{T} \int^T_0 p(t) dt = EI \cos \theta
  → S := EI を皮相電力という。
  → cos θ を力率という。
複素電力
  \.{S} := \.{E} \bar{\.{I}}
とおけば，以下が成り立つ。
  P = \Re \.{S}
  → Q := \Im \.{S} = EI \sin \theta を無効電力という。

有効電力は R で消費される電力，無効電力は C,L に蓄えられる電力である。

二端子対回路

ブラックボックスは，
1. 線形素子からなる。
2. 電源を含まない。

可逆定理（相反定理）
二端子対回路において，
入力電圧E に対して 出力電流I ならば， 
入力電流I に対して 出力電圧E になる。
※相反定理の成り立つ回路を相反回路という。

Zパラメータ（インピーダンス行列）
両側に電流源を印加したときの電圧
直列接続はZ行列の和になる。
\begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} = \left [ Z \right ] \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix}
\mathbf{V} = \mathbf{Z I}

Yパラメータ（アドミタンス行列）
両側に電圧源を印加したときの電流
並列接続はY行列の和になる。
Zの逆行列
\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \left [ Y \right ] \begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix}
\mathbf{I} = \mathbf{Y V}

hパラメータ（ハイブリッド行列）
左から電流源，右から電圧源を印加したときの左と右の出力
トランジスタ回路で使う。
\begin{pmatrix} V_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \left [ h \right ] \begin{pmatrix} I_1 \\ V_2 \end{pmatrix}

Fパラメータ（縦続行列）
右から電圧源と電流源を印加した場合の，左の出力
I2の向きがこいつだけ逆（ブラックボックスから出てくる向き）
縦続接続はF行列の積になる。
\begin{pmatrix} V_1 \\ I_1 \end{pmatrix} = \left [ F \right ] \begin{pmatrix} V_2 \\ \hat{I}_2 \end{pmatrix}

分布乗数回路

電信方程式

磁気回路

相互インダクタンスの処理
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最終更新：2009年07月21日 16:13
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