=== 以下は同値 === '''Ax. Axiom of Choice''' '''Th. Zermeloの整列可能定理''' '''Th. Zorn's lemma''' === AoCを使って証明する定理 === '''Th. 基底の存在''' '''Th. Hahn-Banachの拡張定理''' Zornを使う。 '''チコノフの定理''' Zornを使う。 因子空間がコンパクトなら，それらの積空間も（積位相で）コンパクト '''有向点族による連続⇔連続''' AoCを使う === 興味深い結果 === '''Th. Banach-Tarski''' '''Th. Lebesgue可測でない集合の存在(Vitali)''' 一方，AoCを認めなければ「任意のR<sup>d</sup>の部分集合がLebesgue可測になる」ことが証明されている。 ただしAoCがないと測度論自体は話しにならない。
