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以下は同値
'''Ax. Axiom of Choice'''
'''Th. Zermeloの整列可能定理'''
'''Th. Zorn's lemma'''
これらは，以下を導くのに必要。
'''Th. 基底の存在'''
'''Th. Hahn-Banach''' Zornを使う
また，以下の興味深い結果が導かれる。
'''Th. Banach-Tarski'''
'''Th. Lebesgue可測でない集合の存在'''
=== 以下は同値 ===
'''Ax. Axiom of Choice'''
'''Th. Zermeloの整列可能定理'''
'''Th. Zorn's lemma'''
=== AoCを使って証明する定理 ===
'''Th. 基底の存在'''
'''Th. Hahn-Banachの拡張定理'''
Zornを使う。
'''チコノフの定理'''
Zornを使う。
因子空間がコンパクトなら，それらの積空間も（積位相で）コンパクト
'''有向点族による連続⇔連続'''
AoCを使う
=== 興味深い結果 ===
'''Th. Banach-Tarski'''
'''Th. Lebesgue可測でない集合の存在(Vitali)'''
一方，AoCを認めなければ「任意のR<sup>d</sup>の部分集合がLebesgue可測になる」ことが証明されている。
ただしAoCがないと測度論自体は話しにならない。
