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位相の各公理の関係

X : \mbox{set}

有限集合上の位相の例も参照

開集合系　⇔　開核演算子
　 ⇔　　　　 　　⇔
閉集合系　⇔　閉包演算子

開集合系　⇔　近傍系
近傍系　→　収束
収束　→　閉集合系，閉包演算子

開集合系から

\mathcal{O} 開集合系
近傍系
各 x \in X に対し，
\mathcal{U}_x = \{ A \subset X | \ ^\exists O \in \mathcal{O} \mbox{ s.t. } x \in O \subset A \}
基本近傍系（開近傍系）
\mathcal{L}_x := \{ O \in \mathcal{O} | x \in O \} 
閉集合系
\mathcal{F} = \{ F \subset X | \ ^\exists O \in \mathcal{O} \mbox{ s.t. } F = O^c \} = \{ O^c | O \in \mathcal{O} \}
開核演算子
A^o = \sup \{ O \in \mathcal{O} | O \subset A \} Aに含まれる最大の開集合

近傍系から

各 x \in X に対し，\mathcal{U}_x 近傍系
開集合系
\mathcal{O} = \{ A \subset X | x \in A \Rightarrow A \in \mathcal{U}_x \}
開核演算子
A^o = \{ x \in X | A \in \mathcal{U}_x \}
収束
x_n \to x
\Leftrightarrow \ ^\forall U \in \mathcal{U}_x \ ^\exists m \in \mathbb{N} \mbox{ s.t. } m \leq n  \Rightarrow x_n \in U 「任意の数列」を考えるのはなかなか辛い
\Leftrightarrow \ ^\forall U \in \mathcal{U}_x \ ^\exists m \in \mathbb{N} \mbox{ s.t. } \{ x_n | m \leq n \} \subset U 途中から先を全て含めた集合を考えると良い。
閉包演算子
\overline{A} = \{ x \in X | \ ^\forall U \in \mathcal{U}_x : \ U \cap A \neq \emptyset \}

基本近傍系から

開集合系
\mathcal{O} = \{ A \subset X | {}^\forall x \in A \ {}^\exists L \in \mathcal{L}_x \mbox{ s.t. } L \subset A \}

収束から

x_n \to x 収束様式が定義されている。
※以下で得られる閉包・閉集合は，点列閉包・点列閉集合と呼ばれるもので，
Aを含む最小の閉集合としての閉包や，開集合の補集合としての閉集合よりも小さい。
・位相が第一可算の場合には，点列閉包・閉集合と閉包・閉集合は一致する。
・以下の方法で，「点列」を有向点族ないしフィルターに読み替えて適用したものは，一致する。
閉包をとる(閉包演算子)
各 A \subset X に対し，
\overline{A} = \{ x \in X | \ ^\exists ( x_n ) \subset A \mbox{ s.t. } x_n \to x\} 収束先を全て含めた集合
閉集合系
\{ F \subset X | \ ^\forall (x_n) \subset F \ x_n \to x \Rightarrow x \in F \} Fの点列の収束先はF

閉包演算子から

\overline{\cdot} : \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X) 閉包演算子
閉集合系
\mathcal{F} = \{ F \subset X | \overline{F} = F \}
開核演算子
A^o = \overline{A^c}^c

開核演算子から

\cdot^o : \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X) 開核演算子
開集合系
\mathcal{O} = \{ O \subset X | O^o = O \}
近傍系
各 x \in X に対して，
\mathcal{U}_x = \{ A \subset X | x \in A^o \}
閉包演算子
\overline{A} = A^{coc}

閉集合系から

\mathcal{F} 閉集合系
開集合系
\mathcal{O} = \{ F^c | F \subset \mathcal{F} \}
閉包演算子
\overline{A} = \inf \{ F \subset \mathcal{F} | A \subset F \}
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最終更新：2011年05月08日 02:28
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