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有限集合上の位相の例

位相の各公理の関係など参考

設定

台集合
X := \{ a, b, c \}
開集合系
\mathcal{O} := \{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ a, b \}, \{ a, b, c\}\}

同値な位相

閉集合系
開集合の補集合を取れば良い。
\mathcal{F} = \{ \{ a, b, c \}, \{ b, c \}, \{ c, a \}, \{ c \}, \emptyset \}

近傍系
xを含む開集合を含む部分集合
\mathcal{U}_a = \{ \{ a \}, \{ a, b \}, \{ c, a \}, \{ a, b, c \} \}
\mathcal{U}_b = \{ \{ b \}, \{ a, b \}, \{ b, c \}, \{ a, b, c \} \}
\mathcal{U}_c = \{ \{ a, b, c \} \}
開近傍系(基本近傍系)
xを含む開集合
\mathcal{L}_a = \{ \{ a \}, \{ a, b \}, \{ a, b, c \} \}
\mathcal{L}_b = \{ \{ b \}, \{ a, b \}, \{ a, b, c \} \}
\mathcal{L}_c = \{ \{ a, b, c \} \}

開核演算子と閉包演算子
Aに含まれる最大の開集合と，Aを含む最小の閉集合
あるいは，Aに含まれる開集合の和集合と，Aを含む閉集合の共通部分
A \subset X A^o \overline{A}
\emptyset^o = \emptyset, \quad \overline{\emptyset} = \emptyset
\{ a \}^o = \{ a \}, \quad \overline{\{ a \}} = \{ c, a \}
\{ b \}^o = \{ b \}, \quad \overline{\{ b \}} = \{ b, c \}
\{ c \}^o = \emptyset, \quad \overline{\{ c \}} = \{ c \}
\{ a, b \}^o = \{ a, b \}, \quad \overline{\{ a, b \}} = \{ a, b, c \} ←稠密な部分集合
\{ b, c \}^o = \{ b \}, \quad \overline{\{ b, c \}} = \{ b, c \}
\{ c, a \}^o = \{ a \}, \quad \overline{\{ c, a \}} = \{ c, a \}
\{ a, b, c \}^o = \{ a, b, c \}, \quad \overline{\{ a, b, c \}} = \{ a, b, c \} ←稠密な部分集合（自明）

点列の収束の例　→1点に収束しないことから，ハウスドルフでないことが分かる。
xに収束する　⇔　任意のxの近傍に対して，ある番号より先の列が含まれる。
1. a, a, a, \cdots \to a, c　←！！！
2. b, b, b, \cdots \to b, c
3. c, c, c, \cdots \to c
4. a, b, a, b, \cdots \to c
5. b, c, b, c, \cdots \to c
6. c, a, c, a, \cdots \to c
7. a, b, c, a, \cdots \to c

位相的性質

可算公理
基本近傍系として，特に近傍系を取れば，これは高々可算個の近傍からなる基本近傍系であるから，第1可算である。
開基としても同様に，もとの開集合系を取れば，これは高々可算個の開集合から開基であるから，第2可算である。
従って特に，可分でもある。実際，稠密な高々可算部分集合として，
\{ a, b \}, \{ a, b, c \}
をとることができる。

分離公理
「1点集合が閉集合」とは限らないので，第1分離公理ですらない。

コンパクト性
 A \subset X の開被覆があれば，それは自動的に有限被覆である。
従って任意の部分集合はコンパクト集合である。
特に，部分集合としてX自体を取れば，コンパクト空間（⇒局所コンパクト）である。
※一般に，位相空間の有限部分集合はコンパクトである。

連結性
開かつ閉が自明なものに限るので，連結である。
部分集合の連結性を調べるに当たって，部分位相を調べる↓

部分空間の相対位相
もとの開集合とAとの共通部分を改めて開集合にする。
※元の位相では開集合でないものが表れることに注意する。
\mathcal{O}_{ \{ a \} } = \{ \emptyset, \{ a\} \}　連結
\mathcal{O}_{ \{ b \} } = \{ \emptyset, \{ b\} \}　連結
\mathcal{O}_{ \{ c \} } = \{ \emptyset, \{ c \} \}　連結
\mathcal{O}_{ \{ a, b \} } = \{ \emptyset, \{ a\}, \{ b\}, \{ a, b\} \}　不連結！　←一般に分離位相は完全不連結で，その連結成分は一点集合
\mathcal{O}_{ \{ b, c \} } = \{ \emptyset, \{ b\}, \{ b, c\} \}　連結
\mathcal{O}_{ \{ c, a \} } = \{ \emptyset, \{ a\}, \{ c, a\} \}　連結

一般に，有限集合上の位相空間において，連結⇔弧状連結だが，
実際，以下のようにして弧(f:[0,1] \to X; f(0)=a, f(1)=b 連続写像)をつくることができる。
f_{a \to b}(x) = \begin{cases} a & x \in [0, \frac{1}{3}) \\  c & x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\  b & x \in (\frac{2}{3}, 1] \end{cases}
f_{b \to c}(x) = \begin{cases} b & x \in [0, \frac{1}{2}) \\  c & x \in [\frac{1}{2}, 1]\end{cases}
 f_{a \to c}(x) = \begin{cases} f_{a \to b}(2x) & x \in [0, \frac{1}{2}] \\ f_{b \to c}(2x-1) & x \in [\frac{1}{2}, 1]\end{cases}
従って弧状連結である。

同相写像群
XからXへの全単射の全体は3次対称群である。
このうち連続写像であるためには，
f^{-1}(\{ a \}), f^{-1}(\{ b \}) \in \mathcal{O}
を満たさなければならないが，これを満たすものは次の二つのみである。
i(a)=a, \ i(b)=b, \ i(c)=c
\sigma(a)=b, \ \sigma(b)=a, \ \sigma(c)=c \quad (\sigma^2 = i)
これらはいずれも両連続であるから，同相写像であり，これで尽くされる。
\mathrm{Aut}(X) = \{ i, \sigma\}
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最終更新：2011年04月21日 01:14
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