Rem. 環 加法に関してアーベル群（可換・単位・逆・結合） 乗法が定義されていて， 分配律が成立する。
Def. １変数多項式 係数環R上定義された変数xの多項式f(x)とは，あるn>0があって，と書けることをいう。 nを多項式f(x)の次数といい，deg(f)とかく。ただし，deg(0):=-∞と定義する。 各kに対し，akxkを項と呼び，akをk次の係数，xkをk次の単項式という。 特に k=n のとき，それぞれ主項(先頭項)LT(f)，主係数(先頭係数)LC(f)，先頭単項式LM(f)と呼び習わす。 主係数が１である多項式をモニックという。
Def. １変数多項式環 係数環R上の多項式の全体R[x]は，通常の和と積によって環をなす。
prop. Rが可換環ならばR[x]も可換環 積の定義より明らか。
Def. 多変数多項式環 一変数多項式環R[x]を係数環として，さらに多項式環(R[x])[y]を考えることができる。 これを単に R[x,y] とかき，二変数多項式環という。 この手続きを繰り返して，多変数多項式環を構成することができる。 こうして得られる環を単に R[X] とも書く。
Rem. 多変数への拡張に際して，変数どうしの積は可換にすることが多い。 i.e. 二変数多項式の場合は，xy=yx とする。
Rem. 体 （環において）零元を除いて積にも逆元が存在する（しかも可換）。 i.e. 和・積がアーベル群
Def. 有理関数体 多項式環K[X]が係数体K上で定義されているとき，これは整域になるので， さらに商体として有理関数体K(X)を構成することができる。 即ち，次のような有理関数の集合を考えて，約分による同値関係で割った後，自然な和と積を入れて得られると，これは体（商体）をなす。 即ち，任意の f(X)∈K(X) に対して，乗法の逆元 1/f(X) を考えることができる。 これを有理関数体という。
Def. 有理関数の表現 有理関数体K(X)の元Fは，ある多項式環K[X]の元f,gを用いて，以下のような表現をもつ。約分の同値性から１つの有理関数には無数の表現が存在するが， 以下の条件を満たすものがただ１つとれる。 1. 分母・分子の多項式が互いに素（最大公約因子が１）。 2. 分母多項式がモニック（先頭係数が１）。
Rem. イデアル i.e. 和とスカラー倍に対して閉じている。
Def. 根基イデアル Th. Hilbertの零点定理
