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== 多項式環 ==
'''Rem. 環'''
加法に関してアーベル群（可換・単位・逆・結合）
乗法が定義されていて，
分配律が成立する。
'''Def. １変数多項式'''
係数環R上定義された変数xの多項式f(x)とは，あるn>0があって，
<math>f(x) := a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \mbox{ for } {}^\exists a_k \in R</math>
と書けることをいう。
nを'''多項式f(x)の次数'''といい，deg(f)とかく。ただし，deg(0):=-∞と定義する。
各kに対し，a<sub>k</sub>x<sup>k</sup>を'''項'''と呼び，a<sub>k</sub>を'''k次の係数'''，x<sup>k</sup>を'''k次の単項式'''という。
特に k=n のとき，それぞれ'''主項(先頭項)LT(f)，主係数(先頭係数)LC(f)，先頭単項式LM(f)'''と呼び習わす。
主係数が１である多項式を'''モニック'''という。
'''Def. １変数多項式環'''
係数環R上の多項式の全体R[x]は，通常の和と積によって環をなす。
'''prop. Rが可換環ならばR[x]も可換環'''
積の定義より明らか。
'''Def. 多変数多項式環'''
一変数多項式環R[x]を係数環として，さらに多項式環(R[x])[y]を考えることができる。
これを単に R[x,y] とかき，'''二変数多項式環'''という。
この手続きを繰り返して，多変数多項式環を構成することができる。
こうして得られる環を単に R[X] とも書く。
'''Rem. '''
多変数への拡張に際して，変数どうしの積は可換にすることが多い。
i.e. 二変数多項式の場合は，xy=yx とする。
== 有理関数体 ==
'''Rem. 体'''
（環において）零元を除いて積にも逆元が存在する（しかも可換）。
i.e. 和・積がアーベル群
'''Def. 有理関数体'''
多項式環K[X]が係数'''体'''K上で定義されているとき，これは整域になるので，
さらに商体として有理関数体K(X)を構成することができる。
即ち，次のような有理関数の集合を考えて，
<math>\mathbb{K}(X) := \left \{ \frac{f(X)}{g(X)} | f,g \in \mathbb{K}[X], \, g \neq 0 \right \}</math>
'''約分による同値関係で割った'''後，自然な和と積を入れて得られると，これは体（'''商体'''）をなす。
即ち，任意の f(X)∈K(X) に対して，乗法の逆元 1/f(X) を考えることができる。
これを'''有理関数体'''という。
'''Def. 有理関数の表現'''
有理関数体K(X)の元Fは，ある多項式環K[X]の元f,gを用いて，以下のような表現をもつ。
<math>{}^\forall F(X) \in \mathbb{K}(X) {}^\exists f(X),g(X) \in \mathbb{K}[X] \mbox{ s.t }F(X) = \frac{f(X)}{g(X)} </math>
約分の同値性から１つの有理関数には無数の表現が存在するが，
以下の条件を満たすものがただ１つとれる。
1. 分母・分子の多項式が互いに素（最大公約因子が１）。
2. 分母多項式がモニック（先頭係数が１）。
== 多項式環のイデアル ==
'''Rem. イデアル'''
i.e. 和とスカラー倍に対して閉じている。
'''Def. 根基イデアル'''
'''Def. 素イデアル'''
'''Th. Hilbertの零点定理'''
'''Def. 準素イデアル'''
'''Def. 極大イデアル'''
== 多項式環 ==
'''Rem. 環'''
加法に関してアーベル群（可換・単位・逆・結合）
乗法が定義されていて，
分配律が成立する。
'''Def. １変数多項式'''
係数環R上定義された変数xの多項式f(x)とは，あるn>0があって，
<math>f(x) := a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \mbox{ for } {}^\exists a_k \in R</math>
と書けることをいう。
nを'''多項式f(x)の次数'''といい，deg(f)とかく。ただし，deg(0):=-∞と定義する。
各kに対し，a<sub>k</sub>x<sup>k</sup>を'''項'''と呼び，a<sub>k</sub>を'''k次の係数'''，x<sup>k</sup>を'''k次の単項式'''という。
特に k=n のとき，それぞれ'''主項(先頭項)LT(f)，主係数(先頭係数)LC(f)，先頭単項式LM(f)'''と呼び習わす。
主係数が１である多項式を'''モニック'''という。
'''Def. １変数多項式環'''
係数環R上の多項式の全体R[x]は，通常の和と積によって環をなす。
'''prop. Rが可換環ならばR[x]も可換環'''
積の定義より明らか。
'''Def. 多変数多項式環'''
一変数多項式環R[x]を係数環として，さらに多項式環(R[x])[y]を考えることができる。
これを単に R[x,y] とかき，'''二変数多項式環'''という。
この手続きを繰り返して，多変数多項式環を構成することができる。
こうして得られる環を単に R[X] とも書く。
'''Rem. '''
多変数への拡張に際して，変数どうしの積は可換にすることが多い。
i.e. 二変数多項式の場合は，xy=yx とする。
== 有理関数体 ==
'''Rem. 体'''
（環において）零元を除いて積にも逆元が存在する（しかも可換）。
i.e. 和・積がアーベル群
'''Def. 有理関数体'''
多項式環K[X]が係数'''体'''K上で定義されているとき，これは整域になるので，
さらに商体として有理関数体K(X)を構成することができる。
即ち，次のような有理関数の集合を考えて，
<math>\mathbb{K}(X) := \left \{ \frac{f(X)}{g(X)} | f,g \in \mathbb{K}[X], \, g \neq 0 \right \}</math>
'''約分による同値関係で割った'''後，自然な和と積を入れて得られると，これは体（'''商体'''）をなす。
即ち，任意の f(X)∈K(X) に対して，乗法の逆元 1/f(X) を考えることができる。
これを'''有理関数体'''という。
'''Def. 有理関数の表現'''
有理関数体K(X)の元Fは，ある多項式環K[X]の元f,gを用いて，以下のような表現をもつ。
<math>{}^\forall F(X) \in \mathbb{K}(X) {}^\exists f(X),g(X) \in \mathbb{K}[X] \mbox{ s.t }F(X) = \frac{f(X)}{g(X)} </math>
約分の同値性から１つの有理関数には無数の表現が存在するが，
以下の条件を満たすものがただ１つとれる。
1. 分母・分子の多項式が互いに素（最大公約因子が１）。
2. 分母多項式がモニック（先頭係数が１）。
== 多項式環のイデアル ==
'''Rem. イデアル'''
i.e. 和とスカラー倍に対して閉じている。
'''Def. 根基イデアル'''
'''Th. Hilbertの零点定理'''
