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測度論

具体的に計算するアルゴリズムを持たない解析学として，発表当時(1902)は内外から批判も受けた。
測度論が可算集合列に対して柔軟に対応できることから，積分と極限の交換に威力を発揮する。
また，測度零の定義が上手くいったこともL積分論が成功したポイント。

基本図形の測り方をどう決めるか，がLebesgue積分にどう現れるかというと，
\int_I d\mu = \mu(I) := |b-a|

外測度を具体的に定義してしまえば，そこから積分を構成できる。というが基本思想。
いつもできるかどうかは知らん。Stieltjes積分ならできるんじゃないの。

\int_\Omega f d\mu という書き方には注意が必要である。
実際，測度μとして数え上げ測度をとり，台集合Ωとして自然数Nをとれば，これは \sum_{n=1}^\infty a_n を意味する。

一般の測度の構成法 

\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X), \quad \emptyset, X \in \mathcal{E} 基本図形
\rho : \mathcal{E} \to [0, \infty], \quad \rho( \emptyset ) = 0 基本図形の測り方

ρから外測度νを構成し，さらにνを制限して測度μを構成する。

測度論

有限加法族 

\mathcal{S} \subset \mathcal{P}(X)
i. \emptyset, X \in \mathcal{S} (←ii, iii から導くことができる。)
ii. A \in \mathcal{S} \ \Rightarrow \ A^c \in \mathcal{S}
iii.  A, B \in \mathcal{S} \ \Rightarrow \ A \cup B \in \mathcal{S}

完全加法族 

完全加法族
\mathcal{S} \subset \mathcal{P}(X)
i. \emptyset, X \in \mathcal{S} (←ii, iii から導くことができる。)
ii. A \in \mathcal{S} \ \Rightarrow \ A^c \in \mathcal{S} ←かなりしばりの強い要請
iii.  \{ A_j \}_{j=1}^\infty \subset \mathcal{S} \ \Rightarrow \ \bigcup_{j=1}^\infty A_j \in \mathcal{S}

ここで加法とは，集合の和を積として加法群(アーベル群)になることを示す。

Aを含む最小の完全加法族
 \{ \emptyset,A,A^c,X \} 

3点集合上の完全加法族
X = \{ a, b, c\}
1. \mathcal{S}_\mathrm{trivial} = \{ \emptyset, X \}
2. \mathcal{S}_\mathrm{strongest} = \mathcal{P}(X)
3-a. \mathcal{S}_a = \{ \emptyset, \{ a \}, \{ b, c \}, X \}
3-b. \mathcal{S}_b = \{ \emptyset, \{ b \}, \{ c, a \}, X \}
3-c. \mathcal{S}_c = \{ \emptyset, \{ c \}, \{ a, b \}, X \}

Rem. 
完全加法族は開集合系の公理を満たす。

測度 

測度
X set
\mathcal{S} \subset \mathcal{P}(X) σ-algebra on X
\mu : \mathcal{S} \to [0, \infty]
i. \mu( \emptyset ) = 0
ii. \{ E_j \}_{j=1}^\infty disjoint sets に対して，
    \mu \left( \bigcup E_j \right) = \sum \mu \left( E_j \right)

外測度 

外測度
\nu : \mathcal{P}(X) \to [0, \infty]
i. \nu( \emptyset ) = 0
ii. E \subset F \Rightarrow \nu( E ) \leq \nu( F )
iii. \{ E_j \}_{j=1}^\infty 集合列に対して，
    \nu \left( \bigcup E_j \right) \leq \sum \mu \left( E_j \right) ← disjoint sets であったとしても必ずしも等号は成り立たない。

σ有限 

全空間が測度有限集合による高々可算被覆をもつこと。
X = \bigcup_{n=1}^\infty E_n, \quad \mu(E_n)<\infty

可分性と類似の概念。

Rにルベーグ測度を入れればσ有限だが，数え上げ測度を入れるとσ有限にならない。

可測集合 

外測度νに対し，Xの部分集合Eが以下に示す条件を満たすとき，ν-可測集合であるという。
Caratheodoryの条件
\nu(E) = \nu(A \cap E) + \nu(A \setminus E) \quad ({}^\forall A \in \mathcal{P}(X))
外測度の劣加法性から，≦は常に成り立つことに注意。

特に外測度としてLebesgue外測度m*を用いたときは，Lebesgue可測集合という。
Lebesgue可測集合の全体を\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)で書く。

Borel集合族 

Def. Borel集合体（-集合族，-σ加法族，-クラス）
位相空間(X,O)のボレル集合族とは，Oで生成される最小のσ加法族のことをいい，
\mathcal{B}[\mathcal{O}]とか\sigma(\mathcal{O})あるいは\mathcal{B}(X)などと書く。ボレル集合族の元をボレル（可測）集合という。
Xの閉集合系をF, コンパクト集合系をKとすれば，\mathcal{B}[\mathcal{O}]=\mathcal{B}[\mathcal{F}] \supset \mathcal{B}[\mathcal{K}]が成り立つ。
最後の包含関係は，Xがσコンパクトのとき等号になる。

Def. σコンパクト
以下を満たす可算個のコンパクト集合列{Kn}がとれるとき，Xはσコンパクトであるという。
X=\bigcup_{n=1}^\infty K_n

Th. Borel集合体の存在
Xの集合族Eに対し，Eを含む最小の完全加法族は唯一存在する。

[証明]は，Eを含む完全加法族を全て集めたものをSとして，Sの共通部分∩Sをとればよい。
Xの冪集合P(X)はEを含む（最大の）完全加法族になるから，Sは少なくとも１つの元を含むことが分かる（空でない）。
従って∩Sは意味を為す。

Def. RdのBorel集合体
通常，以下のいずれかの集合族から生成されるものを使う。
1. 基本図形（左半開区間）の全体 E
2. 通常の開集合系 O
3. 通常の閉集合系 F
4. コンパクト集合の全体 K
４つのうちどれを使っても，得られる集合体は同じである。
\mathcal{B}[\mathcal{E}] = \mathcal{B}[\mathcal{O}] = \mathcal{B}[\mathcal{F}] = \mathcal{B}[\mathcal{K}]

Def. GδとFσ
1. 可算個の開集合の共通部分として表される集合をG_\delta {\rm -set}という。
2. 可算個の閉集合の和集合として表される集合をF_\sigma {\rm -set}という。

Lebesgue可測集合Mの正体
1. \mathcal{M}(\mathbb{R}^d) = \mathcal{B}[\mathcal{N}(\mathbb{R}^d),\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)] ボレル集合族に零集合を付け加えた最小のσ加法族 
2. {}^\forall E \in \mathca{M} \ {}^\exists G \in G_\delta \ {}^\exists N \in \mathcal{N}\quad \mbox{ s.t.} \quad E = G \setminus N, \ m(E)=m(G)
2. {}^\forall E \in \mathca{M} \ {}^\exists F \in F_\sigma \ {}^\exists N \in \mathcal{N}\quad \mbox{ s.t.} \quad E = F \cup N, \ m(E)=m(F)

Borel測度

Borel測度
位相空間XのBorel集合上定義された測度μのこと。
さらに，任意のコンパクト集合Kに対して μ(K)<∞ を要請する本もある。←猪狩本

Radon測度
(Rdの場合)任意のコンパクト集合Kに対して有限値μ(K)<∞をとるボレル測度μのこと。
厳密には以下の３つを満たすBorel集合上定義された正測度のこと。
1. （狭義の）Borel測度 K \mbox{ : Compact} \quad \Rightarrow \quad \mu(K) < \infty
2. 外正則 \mu(E) = \inf \{ \mu(O) | E \subset O, \ O \mbox{ : open set}\}
3. 内正則 \mu(E) = \sup \{ \mu(K) | K \subset E, \ K \mbox{ : compact set}\}

Th. Radon測度の正体
区間IのRadon測度に対し，あるI上定義された右連続単調増加関数φがあって，
φによるLebesgue-Stieltjes測度と一致する。

Lebesgue測度はRadon測度である。

Lebesgue測度

Lebesgue積分

可測関数 

単関数
階段関数
正値関数

可積分関数

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最終更新：2011年04月23日 17:24
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