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選択公理

以下は同値

Ax. Axiom of Choice
Th. Zermeloの整列可能定理
Th. Zorn's lemma

AoCを使って証明する定理

Th. 基底の存在

Th. Hahn-Banachの拡張定理
Zornを使う。

チコノフの定理
Zornを使う。
因子空間がコンパクトなら，それらの積空間も（積位相で）コンパクト

有向点族による連続⇔連続
AoCを使う

興味深い結果

Th. Banach-Tarski

Th. Lebesgue可測でない集合の存在(Vitali)
一方，AoCを認めなければ「任意のRdの部分集合がLebesgue可測になる」ことが証明されている。
ただしAoCがないと測度論自体は話しにならない。