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Dirichlet問題と変分原理

Dirichlet原理 

Dirichlet問題
Laplace(Poisson)方程式の境界値問題
\Omega \subset \mathbb{R}^d bounded open
f:\overline{\Omega} \to \mathbb{R} unknown
g:\partial \Omega \to \mathbb{R} boundary condition
\begin{cases} \nabla f(x)=0 & x \in \Omega \\ f(x)=g(x) & x \in \partial \Omega\end{cases}

Rem. 実際に解けるためには，f,gのクラスやΩの形状に制限が必要

Dirichletの原理
Dirichlet積分 I(f) := \frac{1}{2} \int_\Omega |Df|^2
を最小化するようなfがDirichlet問題の解を与える。

ただし，実際には以下の制約のもとで探索する。
f \in H^{1,2}, \ f-g \in H^{1,2}_0

Poisson eq. の弱解
Dirichlet問題
f \in H^{1,2}(\Omega), \ f-g \in H^{1,2}_0(\Omega), \ k\in L^2(\Omega)
\begin{cases} \nabla f(x)=k(x) & x \in \Omega \\ f(x)=g(x) & x \in \partial \Omega\end{cases}
fが弱解とは，次を満たすことをいう。
{}^\forall \phi \in C^\infty_0(\Omega) \mbox{ or, } \phi \in H^{1,2}_0(\Omega)
\int_\Omega \sum_{i=1}^d D_i f(x) D_i \phi(x) dx + \int_\Omega k(x) \phi(x) dx = 0

Th. 弱解は唯一存在する。

Th. Dirichlet問題の古典解
以下の条件のもとで，Dirichlet問題の解は唯一存在し，C^\infty(\overline{\Omega})級
\Omega \subset \mathbb{R}^d \ C^\infty - \mbox{bounded open}
k,g \in C^\infty(\overline{\Omega})

Euler-Lagrangeの方程式 

Dirichlet原理を一般の問題に拡張したもの。

変分問題（汎関数の停留値問題）
H(x,f,p):\Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}
xに関して可測，f,pに関して微分可能
f:Ω→R に対する汎関数
I(f) := \int_\Omega H(x,f(x),Df(x))dx
を最小化するfを求めよ。

Th. Euler-Lagrange方程式
f \in H^{1,2}(\Omega) \cap C^2(\Omega) とする。
定数a,b,cがあって，次が成り立つとする。
|H(x,f,p)| \leq a|p|^2 + b|f|^2 + c \mbox{ a.e.}(x,f,p)\in \Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d
さらに，Hをx,f,pそれぞれについてC1級とする。
（中略）
このとき，I(f)を最小化するfは次の方程式を満たす。
\sum_{i=1}^d \frac{d}{dx_i} \frac{\partial }{\partial p_i} H(x,f(x),Df(x)) - \frac{\partial}{\partial f}H(x,f(x),Df(x))=0

Rem. 記号法について
\frac{d}{dx_i} H(x,f,p)の各成分を全て xi の関数とみなした（fにf(x),pにDf(x)を代入したと思っても良い）ときの微分
\frac{\partial}{\partial x_i} H(x,f,p)の f,p は無関係とみなして，x の 第i成分だけで偏微分するということ。

簡単に，
\sum_i \frac{d}{dx_i} H_{p_i} - H_f

Rem. fがベクトル値関数のとき
EL方程式１本を，fの第j成分関数についてのものと読み替えればおｋ
つまり，p,fによる偏微分はそれぞれ第j成分によるものと読み替える。
結局，偏微分方程式系(PDES)になる。
\sum_i \frac{d}{dx_i} H_{p_i^j} - H_{f^j}

Prop. Laplace eq.
Dirichlet積分に対するEL eq.がLaplace eq.である。

解析力学 

運動状態は，以下の２つの変分原理によって定まる。（公理）

d'Alembertの原理（最小ポテンシャル原理）
平衡状態はポテンシャルを最小にする状態である。

Hamiltonの原理
動力学は作用積分の停留点で決定される。
I(q) := \int_{t_0}^{t_1} (T(t,q,\dot{q})-U(t,q))dt

Euler-Lagrange eq.
通常，作用積分に対応するEL eq.は，ラグランジアンLを導入して以下のように記述される。
L := T-U
\frac{d}{dt}L_{\dot{q}^i} - L_{q^i}=0

Prop. T,Uが「陽に時間に依存しない」とき
エネルギー保存定理が導かれる。

Th. 波動方程式
弦の微小振動からは波動方程式が導かれる。

Th. 極小曲面方程式
膜の微小振動を考える中で，面積を最小化する必要が出てくる。
I[f] := \int_\Omega \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy
(1+f_y^2)f_{xx} - 2 f_x f_y f_{xy} + (1+f_y^2)f_{yy}=0
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最終更新：2009年08月07日 23:07
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