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== Dirichlet原理 ==
'''Dirichlet問題'''
Laplace(Poisson)方程式の境界値問題
<math>\Omega \subset \mathbb{R}^d</math> bounded open
<math>f:\overline{\Omega} \to \mathbb{R}</math> unknown
<math>g:\partial \Omega \to \mathbb{R}</math> boundary condition
<math>\begin{cases} \nabla f(x)=0 & x \in \Omega \\ f(x)=g(x) & x \in \partial \Omega\end{cases}</math>
'''Rem. 実際に解けるためには，f,gのクラスやΩの形状に制限が必要'''
'''Dirichletの原理'''
Dirichlet積分 <math>I(f) := \frac{1}{2} \int_\Omega |Df|^2</math>
を最小化するようなfがDirichlet問題の解を与える。
ただし，実際には以下の制約のもとで探索する。
<math>f \in H^{1,2}, \ f-g \in H^{1,2}_0</math>
'''Poisson eq. の弱解'''
Dirichlet問題
<math>f \in H^{1,2}(\Omega), \ f-g \in H^{1,2}_0(\Omega), \ k\in L^2(\Omega)</math>
<math>\begin{cases} \nabla f(x)=k(x) & x \in \Omega \\ f(x)=g(x) & x \in \partial \Omega\end{cases}</math>
fが弱解とは，次を満たすことをいう。
<math>{}^\forall \phi \in C^\infty_0(\Omega) \mbox{ or, } \phi \in H^{1,2}_0(\Omega)</math>
<math>\int_\Omega \sum_{i=1}^d D_i f(x) D_i \phi(x) dx + \int_\Omega k(x) \phi(x) dx = 0</math>
'''Th. 弱解は唯一存在する。'''
'''Th. Dirichlet問題の古典解'''
以下の条件のもとで，Dirichlet問題の解は唯一存在し，<math>C^\infty(\overline{\Omega})級</math>
<math>\Omega \subset \mathbb{R}^d \ C^\infty - \mbox{bounded open}</math>
<math>k,g \in C^\infty(\overline{\Omega})</math>
== Euler-Lagrangeの方程式 ==
Dirichlet原理を一般の問題に拡張したもの。
'''変分問題（汎関数の停留値問題）'''
<math>H(x,f,p):\Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}</math>
xに関して可測，f,pに関して微分可能
f:Ω→R に対する汎関数
<math>I(f) := \int_\Omega H(x,f(x),Df(x))dx</math>
を最小化するfを求めよ。
'''Th. Euler-Lagrange方程式'''
<math>f \in H^{1,2}(\Omega) \cap C^2(\Omega)</math> とする。
定数a,b,cがあって，次が成り立つとする。
<math>|H(x,f,p)| \leq a|p|^2 + b|f|^2 + c \mbox{ a.e.}(x,f,p)\in \Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d</math>
さらに，Hをx,f,pそれぞれについてC<sup>1</sup>級とする。
（中略）
このとき，I(f)を最小化するfは次の方程式を満たす。
<math>\sum_{i=1}^d \frac{d}{dx_i} \frac{\partial }{\partial p_i} H(x,f(x),Df(x)) - \frac{\partial}{\partial f}H(x,f(x),Df(x))=0</math>
'''Rem. 記号法について'''
<math>\frac{d}{dx_i}</math> H(x,f,p)の各成分を全て x<sub>i</sub> の関数とみなした（fにf(x),pにDf(x)を代入したと思っても良い）ときの微分
<math>\frac{\partial}{\partial x_i}</math> H(x,f,p)の f,p は無関係とみなして，x の 第i成分だけで偏微分するということ。
簡単に，
<math>\sum_i \frac{d}{dx_i} H_{p_i} - H_f</math>
'''Rem. fがベクトル値関数のとき'''
EL方程式１本を，fの第j成分関数についてのものと読み替えればおｋ
つまり，p,fによる偏微分はそれぞれ第j成分によるものと読み替える。
結局，偏微分方程式系(PDES)になる。
<math>\sum_i \frac{d}{dx_i} H_{p_i^j} - H_{f^j}</math>
'''Prop. Laplace eq.'''
Dirichlet積分に対するEL eq.がLaplace eq.である。
== 解析力学 ==
運動状態は，以下の２つの変分原理によって定まる。（公理）
'''d'Alembertの原理（最小ポテンシャル原理）'''
平衡状態はポテンシャルを最小にする状態である。
'''Hamiltonの原理'''
動力学は作用積分の停留点で決定される。
<math>I(q) := \int_{t_0}^{t_1} (T(t,q,\dot{q})-U(t,q))dt</math>
'''Euler-Lagrange eq.'''
通常，作用積分に対応するEL eq.は，ラグランジアンLを導入して以下のように記述される。
<math>L := T-U</math>
<math>\frac{d}{dt}L_{\dot{q}^i} - L_{q^i}=0</math>
'''Prop. T,Uが「陽に時間に依存しない」とき'''
エネルギー保存定理が導かれる。
'''Th. 波動方程式'''
弦の微小振動からは波動方程式が導かれる。
'''Th. 極小曲面方程式'''
膜の微小振動を考える中で，面積を最小化する必要が出てくる。
<math>I[f] := \int_\Omega \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy</math>
<math>(1+f_y^2)f_{xx} - 2 f_x f_y f_{xy} + (1+f_y^2)f_{yy}=0</math>
