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Frobenius内積

Def. Frobenius内積
対称行列の空間に対して定義される。
\langle A,B \rangle := \mathrm{Tr} \{ A^\mathrm{T} B\}

Def. Frobeniusノルム
\| A \| := \langle A,A \rangle = \mathrm{Tr} \{ A^\mathrm{T} A\} = \sum_{i,j} \, a_{ij}^2
Prop. 内積の公理
1. 線形性
\langle kA+lB,C \rangle = k \langle A,C \rangle + l \langle B,C \rangle
2. 対称性
\langle A,B \rangle = \langle B,A \rangle^\star 
3. 正値性
\langle A,A \rangle \geq 0; \quad \langle A,A \rangle = 0 \Leftrightarrow A=0 

Def. Trの性質
1. 積の交換律
\langle A,B\rangle = \langle A^\mathrm{T}, B^\mathrm{T}\rangle
2. 積の結合律
\langle AB,C\rangle = \langle A, CB^\mathrm{T}\rangle = \langle B, A^\mathrm{T}C\rangle
\langle A,BC\rangle = \langle AC^\mathrm{T},B\rangle = \langle B^\mathrm{T}A,C\rangle
特に，
\langle A,B\rangle = \langle A^\mathrm{T}B\rangle

二次形式 

x^\mathrm{T} Ax = \langle Ax,x \rangle
平方完成　その１（多変量正規分布の指数）
\langle \Sigma^{-1}x,x \rangle - 2 \langle \Sigma^{-1}x,\mu \rangle + C
  = \langle \Sigma^{-1}x,x \rangle - 2 \langle \Sigma^{-1}x,\mu \rangle + \langle \Sigma^{-1}\mu,\mu \rangle + C - \langle \Sigma^{-1}\mu,\mu \rangle
  = \langle \Sigma^{-1}(x-\mu),x-\mu \rangle + \widetilde{C} \quad \left( \widetilde{C} := C - \langle \mu,\Sigma^{-1}\mu \rangle \right)
平方完成　その２（二次曲面の定義式）
\langle Ax,x \rangle + 2 \langle \mathbf{b},x \rangle + C

内積の微分 

\frac{\partial \langle A,B \rangle}{\partial x} = \langle\frac{\partial A}{\partial x},B \rangle + \langle A,\frac{\partial B}{\partial x} \rangle
\frac{\partial \langle A,A \rangle}{\partial x} = 2\langle\frac{\partial A}{\partial x},A \rangle

クロネッカーのデルタ 

Iijとの相性
\langle X,\mathbb{I}^{ij} \rangle = x_{ij}
\langle \mathbb{I}^{ij}, \mathbb{I}^{kl} \rangle = \delta_{ik}\delta_{jl}
← IijはFrobenius内積における正規直交基底である！
Iijは次の関係式が有用である。
\mathbb{I}^{ij} = \frac{\partial X}{\partial x_{ij}}

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最終更新：2010年10月22日 18:02
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