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概収束からノルム収束に持っていくための条件
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== 単調列に対する結果 ==
実際に使うときは，条件の２つめを確かめるときに
答えが出てしまうところがおいしい。
'''Th. Beppo-Leviの単調収束定理'''
<math>f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> が以下を満たすとする。
1. 単調増加列 <math>f_n \leq f_{n+1}</math>
2. 積分列が収束 <math>I := \lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx < \infty</math>
このとき，極限関数 f=lim f<sub>n</sub> もまた可積分で，その積分は I に一致する。
<math>\int f(x)dx = I</math>
'''Cor. Brezis版'''
条件をa.e.に緩めてもおｋ
Ω⊂R<sup>d</sup>
<math>f_n \in L^1(\Omega)</math> が
1. ほとんどいたるところ単調増加
<math> f_1(x) \leq f_2(x) \leq \cdots \mbox{ a.e.) x \in \Omega </math>
2. 積分が有限
<math>\sup_{n \in \mathbb{N}} \int_\Omega f_n(x) dx < \infty</math>
このとき概収束極限 <math>f_n \to f \mbox{ a.e.}</math> が存在し，
さらに，ノルム収束する。
<math>\| f_n - f\|_{L^1(\Omega)} \to 0</math>
'''Ex. 積分列が収束しなきゃだめ'''
<math>f_n(x):\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}; \ := \begin{cases} 1 & \|x\|<n \\ 0 & \|x\|\geq n\end{cases}</math>
'''Ex. 単調列じゃなきゃだめ'''
<math>f_n(x) := \begin{cases} n & x \in [0,\frac{1}{n}] \\ 0 & x \in (\frac{1}{n},1]\end{cases}</math>
'''Cor. 非負級数の項別積分(B.Levi)'''
<math>f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math>
1. 非負性 <math>f_n \geq 0</math>
2. 級数が収束 <math>S := \sum^\infty \int f_n(x)dx < \infty</math>
<math>\Rightarrow \int \sum^\infty f_n(x) dx = S</math>
----
== 一般の関数列 ==
'''Th. Lebesgueの優収束定理'''
上から一様に押さえられていたらおｋ
<math>f, f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math>
1. 概収束 <math> f_n \to f \mbox{ a.e. }x \in \mathbb{R}^d </math>
2. 一様有界性 <math>{}^\exists G \in L^1(\mathbb{R}^d) \{}^\forall n \mbox{ s.t. } |f_n| \leq G</math>
このとき，積分と極限は交換可能
<math>\int f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx</math>
'''Cor. Brezis版'''
最後の結論は，以下のノルム収束と同値。こっちのが使いやすい。
<math>\| f_n - f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)} \to 0</math>
'''Cor. 極限関数の可積分性'''
上から一様に押さえられていたら極限も可積分
<math>f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math>
一様有界性 <math>{}^\exists F \in L^1(\mathbb{R}^d) \ {}^\forall n \mbox{ s.t. } |f_n| \leq F</math>
<math>\Rightarrow f := \lim_{n \to \infty} f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math>
'''Cor. 積分区間が単調増加列'''
<math>A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset \mathbb{R}^d; \quad A := \bigcup_{n=1}^\infty A_n</math>
<math>f:A \to \overline{\mathbb{R}}</math>
積分列が収束 <math>I := \lim_{n \to \infty} \int_{A_n} f(x) dx < \infty</math>
<math>\Rightarrow \int_A f(x) dx = I</math>
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==EgorovとLuzin==
'''Egorovの定理'''
E上の収束可測収束列は、Eの測度が有限ならほとんど至る所一様収束する。
'''Luzinの定理'''
区間[a,b]上の可測関数は、"ほとんど"連続である。
I:有界閉区間
f∈L(I), a.e.Iで有限
<math>^\forall \epsilon >0 {}^\exists \phi \in C(I) \mbox{ s.t. }</math>
<math>m(\{ x \in I | f(x) \neq \phi(x) \}) < \epsilon</math>
'''Ex. Dirichlet's 関数'''
I=[0,1]上の，有理点で1，それ以外は0をとる関数（ディリクレ関数）は，
a.e.I で 恒等関数 g(x)≡0 に等しい。
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== 微積分の交換 ==
優収束定理の系として得られる。
'''Cor. パラメータ付きの積分'''
'''Cor. 微分と積分の交換'''
概収束からノルム収束に持っていくための条件
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== 単調列に対する結果 ==
実際に使うときは，条件の２つめを確かめるときに
答えが出てしまうところがおいしい。
'''Th. Beppo-Leviの単調収束定理'''
<math>f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math> が以下を満たすとする。
1. 単調増加列 <math>f_n \leq f_{n+1}</math>
2. 積分列が収束 <math>I := \lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx < \infty</math>
このとき，極限関数 f=lim f<sub>n</sub> もまた可積分で，その積分は I に一致する。
<math>\int f(x)dx = I</math>
'''Cor. Brezis版'''
条件をa.e.に緩めてもおｋ
Ω⊂R<sup>d</sup>
<math>f_n \in L^1(\Omega)</math> が
1. ほとんどいたるところ単調増加
<math> f_1(x) \leq f_2(x) \leq \cdots \mbox{ a.e.) x \in \Omega </math>
2. 積分が有限
<math>\sup_{n \in \mathbb{N}} \int_\Omega f_n(x) dx < \infty</math>
このとき概収束極限 <math>f_n \to f \mbox{ a.e.}</math> が存在し，
さらに，ノルム収束する。
<math>\| f_n - f\|_{L^1(\Omega)} \to 0</math>
'''Ex. 積分列が収束しなきゃだめ'''
<math>f_n(x):\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}; \ := \begin{cases} 1 & \|x\|<n \\ 0 & \|x\|\geq n\end{cases}</math>
'''Ex. 単調列じゃなきゃだめ'''
<math>f_n(x) := \begin{cases} n & x \in [0,\frac{1}{n}] \\ 0 & x \in (\frac{1}{n},1]\end{cases}</math>
'''Cor. 非負級数の項別積分(B.Levi)'''
<math>f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math>
1. 非負性 <math>f_n \geq 0</math>
2. 級数が収束 <math>S := \sum^\infty \int f_n(x)dx < \infty</math>
<math>\Rightarrow \int \sum^\infty f_n(x) dx = S</math>
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== 一般の関数列 ==
'''Th. Lebesgueの優収束定理'''
上から一様に押さえられていたらおｋ
<math>f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math>
1. 概収束 <math> {}^\exists f \mbox{ s.t. } f_n \to f \mbox{ a.e. }x \in \mathbb{R}^d </math>
2. 一様有界性 <math>{}^\exists G \in L^1(\mathbb{R}^d) \{}^\forall n \mbox{ s.t. } |f_n| \leq G</math>
このとき，極限関数も可積分で，
<math>f \in L^1(\mathbb{R}^m)</math>
積分と極限は交換可能
<math>\int f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx</math>
'''Cor. Brezis版'''
最後の結論は，以下のノルム収束と同値。こっちのが使いやすい。
<math>\| f_n - f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)} \to 0</math>
'''Cor. 極限関数の可積分性'''
上から一様に押さえられていたら極限も可積分
<math>f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math>
一様有界性 <math>{}^\exists F \in L^1(\mathbb{R}^d) \ {}^\forall n \mbox{ s.t. } |f_n| \leq F</math>
<math>\Rightarrow f := \lim_{n \to \infty} f_n \in L^1(\mathbb{R}^d)</math>
'''Cor. 積分区間が単調増加列'''
<math>A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset \mathbb{R}^d; \quad A := \bigcup_{n=1}^\infty A_n</math>
<math>f:A \to \overline{\mathbb{R}}</math>
積分列が収束 <math>I := \lim_{n \to \infty} \int_{A_n} f(x) dx < \infty</math>
<math>\Rightarrow \int_A f(x) dx = I</math>
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==EgorovとLuzin==
'''Egorovの定理'''
E上の収束可測収束列は、Eの測度が有限ならほとんど至る所一様収束する。
'''Luzinの定理'''
区間[a,b]上の可測関数は、"ほとんど"連続である。
I:有界閉区間
f∈L(I), a.e.Iで有限
<math>^\forall \epsilon >0 {}^\exists \phi \in C(I) \mbox{ s.t. }</math>
<math>m(\{ x \in I | f(x) \neq \phi(x) \}) < \epsilon</math>
'''Ex. Dirichlet's 関数'''
I=[0,1]上の，有理点で1，それ以外は0をとる関数（ディリクレ関数）は，
a.e.I で 恒等関数 g(x)≡0 に等しい。
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== 微積分の交換 ==
優収束定理の系として得られる。
'''Cor. パラメータ付きの積分'''
'''Cor. 微分と積分の交換'''
