位相メモ（仮）

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実数論＝位相空間論 （⇔空間の境界：位相幾何学）
実数の重要な性質２つ：コンパクトと完備性（＋連結性）
１．構成的導入：有理数まで代数的に作っておいて，そこから極限として実数を作る。
　１．１．デデキント流：順序完備化→コンパクト
　　　　　切断を考える。つまり，区間の端に点を構成するので，順序が重要。
　　　　　点を「直線の交わりにできる」と考えたユークリッドの系譜
　１．２．カントル流：（実数の）完備化
　　　　　区間縮小法による。
　　　　　点を「位置における統一」と考えたピタゴラスの系譜
２．公理的導入：実数の基本法則を公理化してしまう。
　実数の公理
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距離空間の点

Def.
距離空間(X,d)，A⊂X，a∈X

　aが内点：	∃r>0 N(a:r)⊂A
　aが外点：	∃r>0 N(a:r)∩A=φ
　aが境界点：	∀r>0 N(a:r)∩A≠φ ∧ N(a:r)∩c(A)≠φ
　aが触点：	∀r>0 N(a:r)∩A≠φ

　Aの内部int(A)：内点の全体
　Aの外部ex(A)：外点の全体
　Aの境界∂A：境界点の全体
　Aの閉包a(A)：触点の全体

※Th.開核int(A)，閉包a(A)は存在する。

Th.
　距離空間(X,d)，に対し，
　∀A⊂X : X = int(A) + ∂A + ex(A)
　⇔ ∀x∈X : x∈int(A) xor x∈∂A xor x∈ex(A)
　⇔ 距離空間は内部・外部・境界に直和分解できる。

Th.
　A ⊃ int(A)
　ex(A) = int(c(A))
　∂A = ∂(c(A))

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開集合・閉集合

Def.
　開集合：A = int(A)
　閉集合：F ⊃ ∂F；F = a(F)

Th.
　Aが開集合 ⇒ c(A)は閉集合；Fが閉集合 ⇒ c(F)は開集合
　Fが閉集合 ⇔ F=int(F)∪∂F

Th.
　閉包は閉集合：a(a(A))=a(A)
　境界∂Aは閉集合：∂∂A=∂A；a(∂A)={a}
　一点のみからなる集合{a}は閉集合：∂{a}={a}；a({a})={a}

Th.
　閉包a(A)は，Aを含む最小の閉集合
　開核int(A)は，Aに含まれる最大の開集合
　
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位相空間

Def.
　離散空間：(X,P(X))
　密着空間：(X,{X,φ})

Def.
　相対位相
　積位相
　商位相

Def.
　誘導された位相

Def.
　一様収束位相

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連続写像・同相写像

Th.
　有界性⇒連続性　？

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点列連続

Def.
　f:R→R, {x_n}:Rの点列で，xに収束する。
　fが点列連続：lim f(x_n)=f(lim x_n)
Th.
　fが連続 ⇒ 点列連続
　点列連続かつ第一可算公理を満たす ⇒ 連続

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近傍系・開基と可算公理

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連結

Def. E⊂C
　Eが領域：連結な開集合
　Eが有界：∃M>0 E⊂N(0:M)
　Eが弧状連結
　Eが連結
　Eが単連結

Th.
　弧状連結⇒連結　？

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コンパクト

Def.
位相空間(X,O)，A⊂X
　Aがコンパクト集合：任意の開被覆が有限な部分被覆を持つ
　Xがコンパクト空間：X自身がコンパクト集合

　点列コンパクト：

Th.
　R^nにおいて，コンパクト集合⇒有界閉集合　（逆も成り立つ？）
Th.
　dから定まる位相空間(X,Od)のコンパクト集合は，距離空間(X,d)において有界な閉集合である。

Th.
　コンパクト ⇒ 点列コンパクト　？

※Th.
　コンパクト集合上の連続関数は
　最大値と最小値をもつ	→最適化ができる。
　一様連続		→近似ができる。

注.
　有限集合：要素数が有限の集合
　有界集合：距離空間(X,d)の部分集合Aで，直径δ(A)=sup{d(x,y)|x,y∈A}が有限


Th.『一点コンパクト化』

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