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== 可測関数 L(X)==
R<sup>d</sup>の可積分関数と連続関数を包含する巨大なクラス。
各点収束で閉じている。
特に，正値可測関数fは単関数による各点収束の意味での近似をもつ。
さらにfが有界であれば一様収束。
'''Def. 可測関数'''
測度空間(X,M,μ) ←まず測度ありき。
関数 f:X→R が'''可測'''関数とは，任意の区間の逆像が可測集合になることである。
<math>{}^\forall I \subset \mathbb{R} \mbox{ : interval} \quad f^{-1}(I) \in \mathcal{M}</math>
'''Th. Luzin'''
可測関数はほとんど連続関数に等しい。
I：有限区間
<math>f \in L(I) , \quad |f| \leq M {\rm a.e.}</math>
このとき，以下が成り立つ。
<math>{}^\forall \epsilon >0 \ {}^\exists \phi \in C(I) \quad {\rm s.t. } \mu \{ x \in I | f(x) \neq \phi(x) \} < \epsilon</math>
'''Th. Egorov'''
測度有限集合上，可測関数列は概収束すれば'''ほとんどいたるところ一様収束'''
<math>\mu(E) < \infty</math> 上の可測関数列 <math>\{ f_n \}_{n=1}^\infty</math>
ある関数があって，<math>f_n \to f \mbox{ a.e.}</math>
このとき以下が成り立つ。
<math>{}^\forall \epsilon >0 \ {}^\exists N \subset E \mbox{ s.t. } \mu(N)<\epsilon, \ f_n \rightrightarrows f \mbox{ in } E \setminus N</math>
==可積分関数 L<sup>1</sup>==
絶対可積分と同値
<math>\left \{ f:\mbox{measurable } \Big| \int_\Omega |f| d \mu < \infty \right \}</math>
'''Prop. コンパクトサポートな連続関数はL1'''
<math>C_0(\mathbb{R}^d) \subset L^1(\mathbb{R}^d)</math>
'''Rem. 含まれない関数'''
1. sin x は'''R'''でL可積でない。
2. 定数関数もL可積でない。
'''Rem. ノルムを入れる場合の注意'''
<math>\| f \|_{L^1}=0 \Rightarrow f=0</math> が成り立つためには，
元の空間を零関数の集合による同値関係で割っておかねばならない。
零関数の集合はL1の部分空間である。
==L<sup>1</sup><sub>loc</sub>==
局所可積分
'''Th. '''
a.e.x∈Ωは<math>f \in L_{loc}^1(\Omega)</math>のルベーグ点
==L<sup>∞</sup>==
本質的上限ノルム
==L<sup>p</sup>==
p=1,∞ はしばしば別扱いになる！
'''Th. 共役空間'''
<math>1 \leq p,q < \infty, \ q \neq 1, \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math> とする。
<math>{}^\forall \phi \in L^p(\Omega)^* {}^\exists g \in L^q(\Omega) </math>
<math>\mbox{ s.t. } {}^\forall f \in L^p(\Omega) \quad \phi f = \int_\Omega fg dx</math>
<math>\phi</math>はf,gいずれに対しても有界線形作用素であり，
これを同型写像として <math>L^p(\Omega)^* \cong L^q(\Omega)</math>
'''Cor. 反射的（回帰的）Banach Sp.'''
<math>1<p<\infty</math>とする。以下が成り立つ。
<math>(L^p)^{**}=L^p</math>
'''Cor. L2'''
特に L<sup>2</sup> について以下が成り立つ。
<math>(L^2)^* = L^2</math>
'''Th. Lp関数の近似'''
1≦p<∞, f∈Lp(Ω)
<math>{}^\forall \epsilon>0 \ {}^\exists \phi \in C_c(\mathbb{R}^d) \mbox{ s.t. } \|f-\phi \|_{L^p(\Omega)}<\epsilon</math>
つまり，Ω上でfにLp収束するようなR<sup>d</sup>の連続関数列がとれる。
従って特に，Ω上でfに概収束するようなR<sup>d</sup>の連続関数列がとれる。（Lp収束⇒概収束部分列が存在）
'''Th. C<sub>0</sub><sup>∞</sup>(Ω) は Lp(Ω) で稠密'''
== 可測関数 L(X)==
R<sup>d</sup>の可積分関数と連続関数を包含する巨大なクラス。
各点収束で閉じている。
特に，正値可測関数fは単関数による各点収束の意味での近似をもつ。
さらにfが有界であれば一様収束。
'''Def. 可測関数'''
測度空間(X,M,μ) ←まず測度ありき。
関数 f:X→R が'''可測'''関数とは，任意の区間の逆像が可測集合になることである。
<math>{}^\forall I \subset \mathbb{R} \mbox{ : interval} \quad f^{-1}(I) \in \mathcal{M}</math>
'''Th. Luzin'''
可測関数はほとんど連続関数に等しい。
I：有限区間
<math>f \in L(I) , \quad |f| \leq M {\rm a.e.}</math>
このとき，以下が成り立つ。
<math>{}^\forall \epsilon >0 \ {}^\exists \phi \in C(I) \quad {\rm s.t. } \mu \{ x \in I | f(x) \neq \phi(x) \} < \epsilon</math>
'''Th. Egorov'''
測度有限集合上，可測関数列は概収束すれば'''ほとんどいたるところ一様収束'''
<math>\mu(E) < \infty</math> 上の可測関数列 <math>\{ f_n \}_{n=1}^\infty</math>
ある関数があって，<math>f_n \to f \mbox{ a.e.}</math>
このとき以下が成り立つ。
<math>{}^\forall \epsilon >0 \ {}^\exists N \subset E \mbox{ s.t. } \mu(N)<\epsilon, \ f_n \rightrightarrows f \mbox{ in } E \setminus N</math>
== 半連続 ==
可測関数の絡みとかで使う
'''Def. 下半連続'''
<math>f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \}</math> が下半連続であるとは，
任意のa∈Rに対して <math>\{ x | f(x) > a\}</math> が開集合になることをいう。
'''Def. 上半連続'''
<math>f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} \cup \{ -\infty \}</math> が下半連続であるとは，
任意のa∈Rに対して <math>\{ x | f(x) < a\}</math> が開集合になることをいう。
'''Prop. 連続関数は半連続'''
'''Prop. 半連続関数はLebesgue可測'''
==可積分関数 L<sup>1</sup>==
絶対可積分と同値
<math>\left \{ f:\mbox{measurable } \Big| \int_\Omega |f| d \mu < \infty \right \}</math>
'''Prop. コンパクトサポートな連続関数はL1'''
<math>C_0(\mathbb{R}^d) \subset L^1(\mathbb{R}^d)</math>
'''Rem. 含まれない関数'''
1. sin x は'''R'''でL可積でない。
2. 定数関数もL可積でない。
'''Rem. ノルムを入れる場合の注意'''
<math>\| f \|_{L^1}=0 \Rightarrow f=0</math> が成り立つためには，
元の空間を零関数の集合による同値関係で割っておかねばならない。
零関数の集合はL1の部分空間である。
==L<sup>1</sup><sub>loc</sub>==
局所可積分
'''Th. '''
a.e.x∈Ωは<math>f \in L_{loc}^1(\Omega)</math>のルベーグ点
==L<sup>∞</sup>==
本質的上限ノルム
==L<sup>p</sup>==
p=1,∞ はしばしば別扱いになる！
'''Th. 共役空間'''
<math>1 \leq p,q < \infty, \ q \neq 1, \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math> とする。
<math>{}^\forall \phi \in L^p(\Omega)^* {}^\exists g \in L^q(\Omega) </math>
<math>\mbox{ s.t. } {}^\forall f \in L^p(\Omega) \quad \phi f = \int_\Omega fg dx</math>
<math>\phi</math>はf,gいずれに対しても有界線形作用素であり，
これを同型写像として <math>L^p(\Omega)^* \cong L^q(\Omega)</math>
'''Cor. 反射的（回帰的）Banach Sp.'''
<math>1<p<\infty</math>とする。以下が成り立つ。
<math>(L^p)^{**}=L^p</math>
'''Cor. L2'''
特に L<sup>2</sup> について以下が成り立つ。
<math>(L^2)^* = L^2</math>
'''Th. Lp関数の近似'''
1≦p<∞, f∈Lp(Ω)
<math>{}^\forall \epsilon>0 \ {}^\exists \phi \in C_c(\mathbb{R}^d) \mbox{ s.t. } \|f-\phi \|_{L^p(\Omega)}<\epsilon</math>
つまり，Ω上でfにLp収束するようなR<sup>d</sup>の連続関数列がとれる。
従って特に，Ω上でfに概収束するようなR<sup>d</sup>の連続関数列がとれる。（Lp収束⇒概収束部分列が存在）
'''Th. C<sub>0</sub><sup>∞</sup>(Ω) は Lp(Ω) で稠密'''
