順序は有向グラフで考えると良い！
Def. 順序 A:set, ≦:二項関係 1. 反射律2. 反対称律
（等号との関係） 3. 推移律
（じゃんけんは順序でない）
さらに，次を満たすとき全順序という。 4. 完全律
Ex. ベキ集合内の包含関係 全順序でない順序集合の例
Ex. 倍数関係 a|b（aはbを割り切る）をa≦bとすれば，これは一般に全順序でない順序関係
Ex. 辞書式順序 全順序集合の直積には自然に全順序を入れることができる。
Ex. 閉回路は順序集合でない 例えば，ガロア体GF(3)に通常の順序は入らない。 0 ≦ 1 ≦ 2 ≦ 0 ≦ 1 ≦ … ⇒ 0 ≦ 1 かつ 1 ≦ 0 ∴ 0 = 1
X：順序集合，A⊂X：部分集合 Def. 上界 upper bound b∈X が A の上界であるとは，次が成り立つことをいう。Aに上界が存在するとき，Aは上に有界という。
Def. 極大元 maximal element s∈A が A の極大元であるとは，次が成り立つことをいう。
Prop. 極大元は複数あるかもしれない。 グラフが二又に分かれるとき考えればよい。
Def. 最大元 maximum element m∈A が A の最大限であるとは，次が成り立つことをいう。つまり，mは少なくとも全員と比較可能でなければならない。
Prop. 最大元はあれば唯一 反対称律より示される。
Prop. 最大元は極大元
Def. 上限 supremum 最小の上界を上限という。 A が最大元Mを持てば，Mは上限である。
Def. 整列集合 任意の空でない部分集合に対して，最小元が存在するような順序集合
Prop. 整列集合は全順序集合
Th. Zermeloの整列可能定理 任意の集合は整列集合となるように順序を定めることができる。
Rem. 整列可能定理は，選択公理と同値。Zornの補題とも同値。
Th. 全順序集合には自然な位相を定めることができる。 Prop. 実数の標準位相は，実数の順序位相と同等
