距離空間

距離空間は Hausdorffかつ第一可算が成り立つから，点列の収束をまともに論じることができる。
従っていくつかの位相的性質は点列から理解することも重要である。

距離空間にして初めて生じる性質
完備性，全有界，一様連続など
これらは位相的性質ではないので，同相であっても保たれない可能性がある！

位相的性質

距離による位相（任意の点の開近傍が含まれる集合を開集合とする位相）を入れる。
Hausdorff
第一可算 ⇒ 第二可算
パラコンパクト
完全正規

以下はWikipedia「距離空間」から抜粋。

>また、距離空間が可算コンパクト性や点列コンパクト性を持つならばその空間が位相空間としてコンパクトであることが導かれる。
この距離空間のコンパクト性は距離空間が全有界かつ完備であることと同値になる。
さらに距離空間が可分である（稠密な可算部分集合を持つ）ことと第二可算公理を満たす（可算個の開集合によってその位相が生成される）ことは同値になる。

>点 y が Y の内部にある ⇔ 補集合 Yc に含まれる点列で、y に収束するものは存在しない。 
点 y が Y の外部にある ⇔ Y に含まれる点列で、y に収束するものは存在しない。 
点 y が Y の縁にある ⇔ Y に含まれる点列で y に収束するものが存在し、Ycに含まれる点列で y に収束するものも存在する。 

閉集合

Th. 閉集合になるための条件
F⊂Xが閉集合であることは，点列が収束することと同値。
つまり Xで収束するFの点列は，必ずFの点に収束すること。
特に，一点からなる集合は閉集合

Rem.
これを定義とするとき，「開集合」は閉集合の補集合として定義される。

Prop. 境界は閉集合

コンパクト

点列コンパクト
K⊂Xが点列コンパクトであるとは，
Kの任意の点列(x_n)が，K の中の点に収束する部分列をもつこと。

Prop. 点列コンパクト⇔コンパクト
∵ ⇒はHeine-Borelによって示される。
これは第二可算で成り立つ。

Prop. 点列コンパクト⇒有界閉集合

Cf. 逆は，有限次元ユークリッド空間に限って成り立つ。
∵ Bolzano-Weierstrass「有界点列は収束部分列を持つ」をn次元に拡張する。

全有界

B⊂X
有界
ある点x0の近傍に含まれること。

全有界

可分