nopu@wiki
nopu@wiki

連続関数

連続関数 

有界区間 I 上の関数に対して，
C1 ⊂ Lipschitz ⊂ AC ⊂ UC ⊂ C ⊂ α-C

LpとCとの関係などは一般に定義域 Ω に依存することに注意！
境界のなめらかさとか。

α-連続 (Abbott)

Th. 連続 ⇒ α連続

不連続点の議論をするのに使った。

Def. α-continuous
α>0に対し、[a,b]上の関数 f が x でα連続であるとは、
{}^\exists \delta>0 {}^\forall y,z \mbox{ s.t. } 
y,z \in B_\delta(x) \Rightarrow |f(y)-f(z)|<\alpha

Th. 不連続関数
不連続関数に対しては、あるαに対してα連続でない。

各点連続 C0

各点連続
f:D→R が Dの各点で点列連続となること。

Def. 点列連続
pに収束する任意の点列(xn)をとったとき，
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(p)
となるとき，fはpで(点列)連続という。

Rem. 
定義域の空間が第一可算（高々可算個の近傍からなる基本近傍系をもつ）ならば，
点列連続　⇔　連続
一般には，点列連続は連続よりも弱いが，距離空間なら同値になるので

Cf. C0
サポートがコンパクトな連続関数。
BrezisとかJostはCcと書いている。
特に，JostはC0を次の意味で使っている。
C_0^k(\Omega) := \{f \in C^k(\Omega) | \supp f \sqsubset \Omega\}
ただし \sqsubset は，本当は ⊂⊂ という記号であり，
A \sqsubset \Omega \ \Leftrightarrow \ A \mbox{ : bounded and } \overline{A} \subset \Omega

Cf. Cb
有界な連続関数

Prop. 
[a,b]上の連続関数は有界関数
C_{[a,b]} \subset B_{[a,b]}
[証明]は，Bolzano-Weierstrass を使う。

Ex. 連続だけど一様連続でない
f(x) := \frac{1}{x} \mbox{ on } (0,1)
f(x) := e^x \mbox{ on } \mathbb{R}

Ex. Q上で連続
この関数を連続性を保ったままRに拡張することはできない。
稠密な距離空間上定義された連続関数を閉包上の関数に拡張するには一様連続が必要である。
f(x) := \begin{cases}1 & x \in \mathbb{Q}_{(\sqrt{2},\infty)} \\ 0 & x \in \mathbb{Q}_{(-\infty,\sqrt{2})}\end{cases}

Rem. 定義域を適当に修正すれば一様連続になったりする。
ε>0に対し、
f(x) := \frac{1}{x} \mbox{ on } (\epsilon,1)
f(x) := \log x \mbox{ on } [\epsilon,\infty)

Th. Supノルムを入れると，Banach空間になる。
K⊂R，f:K→R
\| f\|_K := \sup_{x \in K} |f(x)|
C_b(K) := \{ f:K \to \mathbb{R} | \| f\|_K < \infty\}
Cb における点列の収束をsupノルムによる収束 \lim_{n \to \infty} \| f_n - f\|_K = 0 で定めるが，
これは一様収束と同値なので， 一様収束位相を入れるともいう。

一様連続

動きをεより小さくするための幅δを場所に依らず決めることができる。
リプシッツ⇒一様連続

Rem. 有界関数との関係
一様連続だけでは，有界にはならない。(\sqrt{|x|} \mbox{ on } \mathbb{R}など。)
（閉とは限らない）有界集合上の一様連続関数は有界である。

一様連続関数が無限大になるとしたら，定義域の端っこである。

Th. 閉区間上で連続ならば一様連続
しかも有界（コンパクト集合上の連続関数は有界なので）

Rem.
閉でなければならない。実際，(0,1] 上の連続関数 \sin \frac{1}{x} は一様連続でない。

Ex. 一様連続
f(x) := \sin x \mbox{ on } \mathbb{R}

Ex. 一様連続だがリプシッツでない。
f(x) := \sqrt{x} \mbox{ on } [0,1]
f(x) := \sqrt{|x|} \mbox{ on } \mathbb{R}

Ex. 二変数の場合
足し算 f(x,y)=x+y は一様連続だが
掛け算 f(x,y)=x \times y は一様連続でない。

Rem. 一様連続かどうかは区間の取り方による
f(x)=x^2 は 閉区間[a,b]で一様連続だが，実数全体Rでは一様連続でない。

α-Hölder連続

Def. α-Hölder連続
f:D→R, 0<α<1
{}^\forall I \subset D \mbox{ : BCI } {}^\exists M_I \mbox{ s.t. }
{}^\forall x,y \in I \quad |f(y)-f(x)| \leq M_I |x-y|^\alpha

Lipschitz連続

Hölder連続において，α=1の場合
f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n
\mbox{ s.t. } |f(x)-f(y)| \leq {}^\exists C|x-y|

f(x) = |x|
f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}

Th.Rademacher
Lipschitz 関数 f:Rm→Rmはa.e.微分可能
特に，導関数は存在すればLipschitz定数で押さえられる。
|f'(x)|\leq K

逆に，a.e.で絶対連続かつ導関数が有界であれば，L連続になる。
特にR1の場合は，平均値の定理と組合わせると，導関数が(存在して)有界ならばL連続であることが分かる。
|f'(x)|\leq L \Rightarrow |f(x)-f(y)| \leq |f'(c)||x-y| \leq L|x-y|

Th.Whitneyの埋め込み定理の系
Lipschitz関数はC1関数で近似できる。

Prop. 簡単な初期値問題の解の一意性
φ:R→R Lipschitz, f:[a,b]→R
\begin{cases} f'(x)=\phi(f(x)) \\ f(a)=c \end{cases}
fは高々１つしか存在しない。

同等連続

関数列を考えているときに出てくる。
特に，Arzela-Ascoliを使うときの条件として。

Def. 同等連続
fn:D→R
{}^\forall \epsilon>0 \ {}^\exists \delta>0 \ {}\forall n \in \mathbb{N}
|x-y|<\delta \Rightarrow |f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon

Prop. 
同等連続なら，特に全てのfnは一様連続
「連続関数」をウィキ内検索
最終更新：2010年11月10日 11:43
ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。