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近傍系

位相の生成も参照

開集合系から近傍系へ

開集合系が与えられている場合の話し

Def. 近傍
N \subset X が x の近傍であるとは，x が N の内点になることを言う。
i.e. {}^\exists O \in \mathcal{O} \mbox{ s.t. } x \in O \subset N

Def. 近傍系
x の近傍を全て集めたものを x の近傍系と言う。
\mathcal{N}(x) := \{ N \subset X | {}^\exists O \in \mathcal{O} \mbox{ s.t. } x \in O \subset N \}

Rem. 開近傍
特に，開集合は近傍であり，開近傍の全体は基本近傍系になる。
O \in \mathcal{O} \ x \in O \ \Rightarrow \ O \in \mathcal{N}(x)

Th. 近傍系による開集合の特徴付け
O の任意の点 x に対して，O が x の近傍になる。
逆に，この条件を満たす部分集合は開集合である。
O \in \mathcal{O} \ \Leftrightarrow \ \left[ x \in O \ \Rightarrow \ O \in \mathcal{N}(x) \right]
近傍の作り方から⇒は明らか。
逆を示す。実際，
N \subset X が x \in N \Rightarrow N \in \mathcal{N}(x) を満たすとする。
このとき，各 x \in N に対して N \in \mathcal{N}(x) より，
ある O_x \in \mathcal{O} が存在して，x \in O_x \subset N とできる。
ここで O := \bigcup_{x \in N} O_x とおけば，作り方からO \subset N で，
逆に任意の x \in N に対して x \in O_x \subset O であるから N \subset O
従って N=O となって，開集合であることが分かった。

近傍系の公理

 X  set
\emptyset \neq \mathcal{N}(x) \subset \mathcal{P}(X) が x の近傍系であるとは，
N1.  N \in \mathcal{N}(x) \Rightarrow x \in N  ← 逆は必ずしも成り立たない！
N2.  N,M \in \mathcal{N}(x) \Rightarrow N \cap M \in \mathcal{N}(x) ← 「N∩M∋xだから入ってる」わけではない！結果としてこれが成り立つ。
N3.  N \in \mathcal{N}(x), N \subset M \Rightarrow M \in \mathcal{N}(x)  ← 「M∋xだから入ってる」わけではない！結果としてこれが成り立つ。
N4.  {}^\forall N \in \mathcal{N}(x) \ {}^\exists M \in \mathcal{N}(x)
\mbox{ s.t. } y \in M \Rightarrow N \in \mathcal{N}(y) ← 特に M⊂N が成り立つ。

近傍系から開集合系へ

近傍系が先に与えられた場合は，
上述の開集合と近傍の関係を逆に使って，開集合系を定義する。

Def. 開集合
O \subset X が開集合であるとは，
O の任意の点 x に対して，O が x の近傍になることを言う。
i.e. x \in O \ \Rightarrow \ x \in \mathcal{N}(x)

Def. 開集合系
\mathcal{O} := \{ O \subset X | x \in O \ \Rightarrow \ O \in \mathcal{N}(x) \}
とおくと，これは開集合系の公理を満たす。

Th. 開集合系と近傍系の一対一対応
上述の開集合系 O から生成される近傍系 N' は元の近傍系 N と一致する。
したがって開集合系と近傍系とは一対一に対応する。

Lem. 近傍の開核
N \in \mathcal{N}(x) に対して，
N^i := \{ \xi \in X | N \in \mathcal{N}(\xi) \} とおくと，
これは O の開集合であり，
x \in N^i \subset N
となる。

Ex. Rnの近傍系から開集合系を構成する。
X=\mathbb{R}^n
\forall x \in X \textrm{ : }\mathcal{U}(x) := \left \{ A \subset X | ^\exists r>0 \textrm{ s.t. } B(x;r) \subset A \right \}
\mathcal{U} := \{\mathcal{U}(x) | x \in X \} \textrm{ : neibourhood of }X
\mathcal{O} := \{O \subset X | x \in O \Rightarrow \ ^\exists r>0 \textrm{ s.t. } B(x;r) \subset O \} \textrm{ : topology of }X

Ex. 密着位相の近傍系
^\forall x \in X, \; \mathcal{N}(x) = \{ X \}

Ex. 離散位相の近傍系
^\forall x \in X, \; \mathcal{N}(x) = \{ x \}

基本近傍系

近傍系を間引いたもの
近傍系の定める位相は，実は基本近傍系だけで定まる。
特に，関数の連続性は，基本近傍系についてのみ調べれば良い。

 \mathcal{L}(x) \subset \mathcal{N}(x) が N(x) の基本近傍系(neibourhoodbase)であるとは，
^\forall N \in \mathcal{N}(x) \ ^\exists L \in \mathcal{L}(x) \mbox{ s.t. } L \subset N

近傍系を間引いたもの。通常の近傍に対するε-近傍や開近傍系に相当する。
可算集合にまで落とし込んだものは，測度論でよく使われる。

Th. 基本近傍系 → 開集合系
\mathcal{L}(x) x の基本近傍系
\mathcal{O} := \{ O \subset X | {}^\forall x \in O \ {}^\exists L \in \mathcal{L}(x) \mbox{ s.t. } L \subset O \}
とおくと，O は開集合系を定める。

Th. 近傍系の唯一性
基本近傍系の定める位相は，その元となった近傍系の定める位相と等しくなる。
つまり，位相は基本近傍系だけ定めれば決まってしまう。
実際，基本近傍系から生成した開集合系をU，元の近傍系から生成した開集合系をOとすれば，
O \in \mathcal{O}, \ x \in O に対して，O \in \mathcal{N}(x) より，ある L \in \mathcal{L}(x) があって，L \subset O 従って O \in \mathcal{U}
一方，U \in \mathcal{U}, \ x \in U に対して，ある L \in \mathcal{L}(x) \subset \mathcal{N}(x) があって，L \subset U \subset X 従って近傍系の公理から U \in \mathcal{N}(x) すなわち U \in \mathcal{O}

Rem. 
１つの近傍系からは無数の異なる基本近傍系をつくることができる。

Ex.
\mathcal{L}(x) := \left\{ B(x;\frac{1}{n}) |  n \in \mathbb{N} \right \}

Ex. 順序位相は基本近傍系の公理から定義される。

基本近傍系の公理 

 X  set
 \emptyset \neq \mathcal{L}(x) \subset \mathcal{P}(X) が基本近傍系であるとは，
1. N \in \mathcal{L}(x) \Rightarrow x \in N 
2. N,M \in \mathcal{L}(x) \Rightarrow \ ^\exists L \in \mathcal{L}(x) \textrm{ s.t. } L \subset N \cap M
3. ^\forall N \in \mathcal{L}(x) \ ^\exists M \in \mathcal{L}(x) \textrm{ s.t. }
 M \subset N , \; y \in M \Rightarrow ^\exists L \in \mathcal{L}(y) \textrm{ s.t. } L \subset M
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最終更新：2011年05月08日 02:15
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