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超関数

超関数論の歴史 

1935 Sobolev が部分積分の拡張として弱微分を提唱
1940 Schwartz による超関数(Distribution)論としての整備
1960 佐藤による超関数(Hyperfunction)論

Dirac's δ

佐藤超関数(Hyperfunction)としての定義

Dirac's δ の近似列 

Def.
次を満たす関数族を，Dirac's-Delta の近似列という。
\lim_{t \to 0} \int_{-\infty}^\infty f(x) \phi_t(x) dx = f(0) \quad \mbox{for all } f \in C_b^\infty(\mathbb{R})

注.収束の位相に注意。

Ex.
\delta(x) := \lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{-\frac{x^2}{2 \sigma^2}}

Dirac's δ の積分表示 

Ex.
\delta(x) := \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i k x} dk
これは Dirac's δ を形式的に反転公式に代入して導かれる。
\delta(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \delta(x) e^{-i k x} dx e^{i k x} dk
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最終更新：2009年10月18日 18:00
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