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dyadic product （外積, outer product）の性質

特異値分解と一般化逆行列も参照

あるデータ列に対する分散共分散行列なんかは，dyadic productで与えられる。
C = \frac{1}{n} \mathbf{\phi(x_n)} \mathbf{\phi(x_n)}^T 
ただし，\phi は適当な特徴空間への写像。

Definition 

Def. as Tensor Product
基底を１つとって固定する。
\mathbf{x,y} \in \mathbb{R}^n の成分表示を，
\mathbf{x} := \sum_i^n x_i \mathbf{e}_i
\mathbf{y} := \sum_i^n y_i \mathbf{e}_i
とおく。
このとき，x と y の Dyadic Product とは，以下で定義されるテンソル積である。
\mathbf{x} \otimes \mathbf{y} := \sum_{i,j} x_i y_j \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j

Dyadic Product の成分表示 

Dyadic はまた，次のように行列として成分表示することができる。
\mathbf{x} \otimes \mathbf{y} \sim \mathbf{x} \mathbf{y}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} x_1 y_1 & \cdots & x_1 y_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n y_1 & \cdots & x_n y_n \end{pmatrix}
即ち，ij成分は基底のテンソル積\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_jの係数を表している。
x y^T の形の積を，Outer Product などと呼ぶこともある。

Dyadic Product の性質 

成分表示から分かるように，各行ベクトルは互いに平行である。
列ベクトルもまた互いに平行である。
\mathbf{x} \mathbf{y}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} x_1 \mathbf{y}^\mathrm{T} \\ \vdots \\ x_n \mathbf{y}^\mathrm{T} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{x} y_1 & \cdots & \mathbf{x} y_n\end{pmatrix}

任意のベクトルのy成分を取り出して，x方向に回転させる線形写像である。
\mathbf{x} \mathbf{y}^\mathrm{T} \mathbf{v} = (\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{x}
従って特に，固有ベクトルはxと平行である。

Dyadic Product の行列としての rank は 1 である。
\mbox{rank} \ (\mathbf{x} \mathbf{y}^\mathrm{T}) = \mbox{rank} \ (\mathbf{y}^\mathrm{T} \mathbf{x}) = 1
⇒ 従って有効な固有値は１個だけ。他はゼロ。
⇒ 定理により，トレースは固有値の和になるから，非零固有値は内積で与えられることが分かる。
\lambda = \mbox{tr} (\mathbf{x} \mathbf{y}^\mathrm{T}) = \sum_i x_i y_i = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}

Dyadic Product の和 

\sum_i^M \mathbf{x}_i \otimes \mathbf{y}_i  の rank は 高々min(M,n)

自分自身との Dyadic Product

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最終更新：2010年11月10日 10:48
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