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確率変数の変換

指数分布とコーシー分布の計算 など参照

1つの確率変数の変換

z変換 z-transform, or standard transform
\mu := \mathbb{E}X, \, \sigma := \sqrt{\mathrm{Var}(X)}
Z := \frac{X-\mu}{\sigma} {normalization, standardization} of X

Prop.
Z は 平均0 分散1

Cor.
X ~ N(μ, σ2) → Z ~ N(0, 1)
∵ 正規変数はアフィン変換しても正規変数だから

複数の確率変数の変換

標本平均
X_n \mbox{ i.i.d.}
\overline{X}_N := \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N X_n

標本平均のモーメント
\mathbb{E}\overline{X}_N = \mu
\mathrm{Var}\overline{X}_N = \frac{\sigma^2}{N}
さらに高次モーメントについての漸近的性質(つまり極限分布)を調べたものが中心極限定理。

※大数の法則とは，標本平均が真の期待値に漸近することを保証する定理。
中心極限定理よりも弱い条件，強い意味の収束であることに注意。

Th. 大数の弱法則
平均・分散が存在すれば，i.i.d.の標本平均の極限は真の平均値に確率収束する。
X_n \sim P(\mu, \sigma^2) \mbox{ i.i.d.}
\overline{X}_N \to \mu \mbox{ in P}
i.e.
\forall \epsilon > 0 \ \lim_{n \to \infty} P\{ |\overline{X}_N - \mu | \geq \epsilon \} = 0

Th. 大数の強法則
平均さえ存在すれば，i.i.d.の標本平均は真の平均値に概収束(確率1で収束，almost surely)する。
X_n \sim P(\mu) \mbox{ i.i.d.}
\overline{X}_N \to \mu \mbox{ a.s.}
i.e.
P\{ \lim_{N \to \infty} \overline{X}_N = \mu \} = 1

Th. 中心極限定理
X_n \sim P(\mu, \sigma^2) \mbox{ i.i.d.}
\overline{X}_N \to X_\infty \sim \mathcal{N}(\mu, \frac{\sigma^2}{N}) \mbox{ in law}
i.e.
\lim_{N \to \infty} P(\overline{X}_N \leq x) = \int_{-\infty}^x \mathcal{N}(\xi | \mu, \frac{\sigma^2}{N})d \xi

複数の正規変数の変換

すでに正規性が分かっているので，大数の法則とか中心極限定理とかは無関係であることに注意。
X_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \mbox{ i.i.d.}

Lemma 標本平均のモーメント
(以下は正規性を仮定しなくても成り立つことに注意)
\mathbb{E}\overline{X}_N = \mu
\mathrm{Var}\overline{X}_N = \frac{\sigma^2}{N}

標本分散 S^2 := \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N (\overline{X}_N - X_n)^2
不変分散 \widehat{\sigma}^2 := \frac{1}{N-1} \sum_{n=1}^N (\overline{X}_N - X_n)^2
として，

Z := \frac{\overline{X}_N - \mu}{ \sigma / \sqrt{N} } \sim \mathcal{N}(0,1) z-transform
\left( \frac{S}{\sigma/\sqrt{N}} \right)^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{n=1}^N (\overline{X}_N - X_n)^2 \sim \chi_{N-1}^2 chi-square 
T := \frac{\overline{X}_N - \mu}{ \widehat{\sigma} / \sqrt{N} } \sim t_{N-1} t-transform

正規分布から誘導される分布

正規変数の和
X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)
Y \sim \mathcal{N}(\nu, \tau^2)
X+Y \sim \mathcal{N}(\mu+\nu, \sigma^2+\tau^2) 再生性
※和の分布は一般に畳み込みで計算できる。
h(z) = \int f(z-y)g(y)dy = \int f(x)g(z-x)dx
※畳み込みは特性関数(または積率母関数，確率母関数)で計算する方が楽。
\phi_h(t) = \phi_f(t) \phi_g(t)

標準正規変数の比
X, Y \sim \mathcal{N}(0,1)
\frac{X}{Y} \sim \mathrm{Cauchy}(0,1)

標準正規変数の二乗
Z \sim \mathcal{N}(0, 1)
Z^2 \sim \mathrm{Gam}(\frac{1}{2}, 2)

chi-square distribution
Z_n \sim \mathcal{N}(0, 1)
Y := \sum_{n=1}^N Z_n^2 \sim \chi_N^2 = \mathrm{Gam}(\frac{N}{2}, 2)
分散1で，平均が互いに異なる場合に拡張できる(noncentral chi-square dist.)
\chi_2^2 = \mathrm{Exp}(\frac{1}{2}) exponential dist.

t-distribution
Z \sim \mathcal{N}(0, 1)
Y \sim \chi_N^2
T := \frac{Z}{\sqrt{Y/N}} \sim t_N
t_1 = \mathrm{Cauchy}(0, 1)

F-distribution
X \sim \chi_M^2
Y \sim \chi_N^2
F := \frac{X/M}{Y/N} \sim F_N^M

chi-distribution
X \sim \chi_N^2
Y := \sqrt{X} \sim \chi_N
\chi_2 Rayleigh dist.
\chi_3 Maxwell dist.
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最終更新：2011年10月23日 01:56
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