直交行列とユニタリ行列

定義 U*U=UU*=I
ユニタリ（直交）行列は正則かつ正規である。

定理 ユニタリ（直交）行列の固有値の絶対値は1
逆 正規行列の固有値の絶対値が1ならばユニタリ（直交）行列

定理 ユニタリ（直交）行列は内積を保つ。

命題 ユニタリ（直交）変換は固有値を変えない。←相似変換の性質

定理 任意の正方行列は、ユニタリ変換によって上三角行列にできる。（Schur分解）
Schur分解の対角成分は元の行列の固有値である。

系 直交変換に限ると、実Schur分解止まり。

直交行列の生成

X : n-dim 線形空間
 : X の有限個の一次独立なベクトル
Gram-Schmidtの直交化法は、次のようになる。
 ととる。
以下を繰り返し。
 

Rem
 は Span U_t への射影ベクトルを与える。
実際、

特に、t=n のとき単位行列になる。

一方、作り方から

である。