Riemann積分

Riemann積分論

定義（Riemann和）

定義（Riemann積分可能）
例（Riemann積分不能）
Dirichlet関数

定理（limと∫の交換）
例（交換できない）

定理（項別微分）
定理（項別積分）

Riemann可積分

Riemann積分はそもそも，有界関数に対して定義されている。
そのほかは広義積分として，極限で拡張されている。

Th. 関数fが区間[a,b]でRiemann可積分になるための条件
1. [a,b]で有界
2. [a,b]における不連続点が高々可算個

Rem. ∞個の不連続点をもつ可積分関数
実際、次のThomae関数は 閉区間[0,1]上でR可積分

Ex. R可積分でない
1. Dirichlet関数とか。
2. 非有界な関数は（狭義の）R可積分ではない。（広義積分ならおk）

Rem. 各点収束では何も分からない。
実際、可積分関数の列で、Dirichlet関数に各点収束する関数を構成できる。
閉区間上で一様収束なら、可積分関数の列は可積分関数に収束し、積分の列は極限の積分に収束する。

Th. Lebesgue
R可積分の正体。あるいは連続性によるR可積分の特徴付け。
閉区間[a,b]上で有界な関数fがR可積分となるための必要十分条件は、
fの不連続点の集合が測度零となることである。