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集合の拡大

ある台集合Aに構造Sが入っているとき，その構造が自然なものになるように集合Aに元を追加することがある。
その元を，どこから取ってくるのかという話し。

閉包以外は，新たな数字を創るという点で異質な操作である。

距離空間の完備化

基本列どうしの距離を作り，距離が0になる基本列を同一視した剰余類を導入する。

(X,d) 距離空間
F := \left \{(x_n) \subset X | \lim_{m,n \to \infty} d( x_n, x_m ) = 0 \right \} Xの基本列の空間
d(x_n,y_n) \to 0 \ \Leftrightarrow \ (x_n) \sim (y_n)
特に，
d^*( (x_n), (y_n) ) := \lim_{n \to \infty} d(x_n, y_n)
とおけば，右辺は常に収束して，
\widetilde{X} := (F / \sim, d^*)
は完備距離空間で，これがXの完備化になっている。

位相空間の一点コンパクト化

無限遠点を導入する。
X \cup \{ \infty \}

部分集合の閉包

触点(つまりもとの集合の点)を全て入れる。
位相が第一可算であれば，点列閉包でも同じ。

体の拡大

多項式の根を入れる
f(X) := X^2+1 \in \mathbb{R}[X]
\mathbb{C} := \mathbb{R}(i) \quad f(i) = 0
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最終更新：2011年05月07日 17:47
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