コンパクト空間

コンパクト空間

Ex. コンパクト集合でない例
実数の開区間は通常の位相でコンパクトではない。 
実数全体は通常の位相でコンパクトではない。 

Ex. コンパクト集合の例
実数の有界閉区間は通常の位相でコンパクトである。（Heine-Borel） 
n次元球面 Snは，通常の位相でコンパクトである。 
有限集合はどの位相でもコンパクトである。 
連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合である。 
コンパクト空間の積空間はコンパクトである。（チコノフの定理）
コンパクト空間の閉集合はコンパクトである。 

Cf. コンパクト集合は（いつ）閉集合か？
ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合。 
コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続な全単射写像は同相写像である。 

Cf. Rnのコンパクト集合と連続関数の相性のよさ
コンパクト集合上の連続関数は，一様連続である。→　近似ができる。連続関数のリーマン積分可能性。
コンパクト集合上の連続関数は，最大値・最小値を持つ。　→　最適化ができる。
∵Rnにおいて，コンパクト集合⇔有界閉集合

Ex. コンパクトでないときの連続関数の振る舞い
f(x) = x(1-x) は，開区間(0, 1) で最大値をもつ（f(1=2) = 1=4）が，最小値をもたない。
f(x) = tan x は，開区間(-π/2, π/2)で最大値も最小値ももたない。
f(x) = 1/x は，開区間(0, 1)において連続だが一様連続でない。

局所コンパクト

各点がコンパクトな近傍を持つこと。