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開集合系

弱い位相とは，開集合の数が少ないこと。
密着位相は最弱位相

開集合系

開集合系の公理
 X \textrm{ : set}; \; \mathcal{O} \subset \mathcal{P}(X) \textrm{ : family set of }X
(X,O) が位相空間であるとは，
1. X,\emptyset \in \mathcal{O}
2. O_1,O_2 \in \mathcal{O} \Rightarrow O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O} 
3. \mathcal{U} \subset \mathcal{O} \Rightarrow \bigcup \mathcal{U} \subset \mathcal{O} 
このとき，OをXの開集合系といい，Oの元を開集合という。

位相は，開集合の公理，閉集合の公理，閉包作用素の公理から定義できるほか，
近傍系・開基から構成することもできる。

Ex. Aを含む最小の位相
 \{ \emptyset,A,X \}

Ex. 完全加法族は位相

開基 

 X \textrm{ : set}; \; \mathcal{B} \in \mathcal{P}(X) \textrm{ : family set of }X
BがXの開基(open base)であるとは，
1. \bigcup \mathcal{B} = X
2. ^\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}, x \in B_1 \cap B_2 \Rightarrow ^\exists B \in \mathcal{B} \textrm{ s.t. } x \in B \subset B_1 \cap B_2
Rnの開集合は開球の任意個の和集合で与えられる。
この「開球」にあたるものが開基。つまり基本構造。
開基の任意個の和集合の全体は開集合系である。
\mathcal{O} := \left \{ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda | B_\lambda \in \mathcal{B}\right \}

準開基 

 X \textrm{ : set}; \; \mathcal{S} \in \mathcal{P}(X) \textrm{ : family set of }X
SがXの準開基(open subbase)であるとは，
1. \bigcup \mathcal{S} = X

開基をさらに粗くしたもの。全体でXを被覆していればよい。
準開基の有限個の共通部分の全体は開基である。
\mathcal{B} := \left \{ \bigcap^N S_i | S_i \in \mathcal{S}, N < \infty \right \}

準開基 → 開集合系

※任意の\mathcal{B} \subset \mathcal{P}(X)に対して，\mathcal{B}を準開基とする開集合系が唯一つ存在する。

 X \textrm{ : set}; \; \mathcal{S} \in \mathcal{P}(X) \textrm{ : open subbase of }X
\mathcal{B} := \left \{\bigcap^N S_i | S_i \in \mathcal{S}, N < \infty \right \}
とおくと，BはXの開基
\mathcal{O} := \left \{ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda | B_\lambda \in \mathcal{B}\right \}
とおくと，OはXの位相
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最終更新：2011年05月08日 02:12
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