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零因子の作り方

A = [ \mathbf{a}_1, \cdots, \mathbf{a}_r ] \in \mathbb{R}^{n \times r}
B = [ \mathbf{b}_1, \cdots, \mathbf{b}_s ] \in \mathbb{R}^{n \times s}
A^\mathrm{T} B = O_{r \times s} 
   \Leftrightarrow \ {}^\forall i,j \quad \mathbf{a}_i^\mathrm{T} \mathbf{b}_j = 0 
  \Leftrightarrow \mathrm{Span}\{ \mathbf{a}_i \} \cap \mathrm{Span}\{ \mathbf{b}_j \} = \{ 0 \} 
  i.e. 各ベクトルが直交するように作れば良い。

Ex. 
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
A^\mathrm{T} B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Rem. 
Aのベクトル同士，Bのベクトル同士は一次独立でなくても構わない。
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
A^\mathrm{T} B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
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最終更新：2011年05月21日 21:41
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