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Laplace変換

Laplace変換 

Fourier変換 \int_\infty^\infty f(t) e^{-j \omega t} dt 
 →積分核の絶対値が１のままなので収束が非常に弱い。
Laplace変換 \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt
 →積分核が指数関数にのってどんどん０に近づき，さらに定義域を因果性信号に限定している。とても強力。

FにしろLにしろ，逆変換は共役変換として一般化して扱うことができる。

性質 

線形性
\mathfrak{L}[af(t)+bg(t)] = a\mathfrak{L}[f(t)]+b\mathfrak{L}[g(t)]

微分
\mathfrak{L}[\frac{df(t)}{dt}] = s \mathfrak{L}[f(t)] - f(0)

積分
\mathfrak{L}[\int_0^t f(\tau) \; d\tau] = \frac{1}{s}\mathfrak{L}[f(t)]

s領域シフト
\mathfrak{L}[e^{at} f(t)] = \mathfrak{L}[f(t)](s-a)

むだ時間
\mathfrak{L}[f(t-a)] = e^{-at} \mathfrak{L}[f(t)]

初期値定理
\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} s\mathfrak{L}[f(t)](s)

最終値定理
制御理論において，FB系の定常偏差の評価などに使う。
\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s\mathfrak{L}[f(t)](s)

畳み込み
積分区間も t で動くことに注意！（Fourierとの違い）
\mathfrak{L}[\int_0^t f(t-\tau)g(\tau) \; d\tau] = \mathfrak{L}[f(t)]\mathfrak{L}[g(t)]

具体的な計算 

\mathfrak{L}[ \delta(t) ] = 1
\mathfrak{L}[ u(t) ] = \frac{1}{s}
\mathfrak{L}[ t ] = \frac{1}{s^2}
\mathfrak{L}[ e^{-at} ] = \frac{1}{s+a}
\mathfrak{L}[ \cos \omega t ] = \frac{s}{s^2+\omega^2}
\mathfrak{L}[ \sin \omega t ] = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}
\mathfrak{L}[ e^{-at} ] = \frac{1}{s+a}
\mathfrak{L}[ e^{-at} ] = \frac{1}{s+a}
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最終更新：2009年07月21日 16:22
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