数式２

独立変数を $t$ ， $t$ の未知関数(従属変数とも言う)を $x(t)$ として， $x(t)$ の満たすべき二つの条件，すなわち

  1. 微分方程式：
      	  	  	(1)

  2. 初期条件：
      	  	  	(2)

を与えて関数 $x(t) (a\leq t \leq b)$ を求める，と言うのが問題である．

``連立''方程式の場合も，未知関数が $x^{1}(t), \cdots, x^{m}(t)$ と， $m$ 個あること以外は形式的には全く同じで，

  1. 微分方程式：
      	  	  	(3)

  2. 初期条件：
      	  	  	(4)

を与えて $x^{i}(t) (a \leq t \leq b)$ を求めることが問題である．

``高楷''の微分方程式，たとえば $\displaystyle \frac{d^{3}}{dt^{3}}x = f(x, \frac{dx}{dt}, \frac{d^{2}x}{dt^{2}}, t)$ (5)

の様なものも，未知関数の数を増やして $\displaystyle x^{1} = x, x^{2} = \frac{dx}{dt}, x^{3} = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ (6)

とおけば $\displaystyle \frac{dx^{1}}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^{2}$ $\displaystyle \frac{dx^{2}}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^{3}$ $\displaystyle \frac{dx^{3}}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x^{1}, x^{2}, x^{3}, t)$ (7)