シュレーディンガー方程式

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概要

シュレーディンガー方程式とは1929年にエルヴィン・シュレーディンガーが波動力学の基礎方程式として提唱した偏微分方程式

式

一般には
$\hat{H}\psi=E\psi=-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-V(x)]\psi$
アインシュタインの縮約記法を用いると
$\hat{H}\psi=E\psi=i\hbar c\partial_0\psi=[\frac{\hbar^2}{2m}\partial_k ^2 +V(r)]\psi$

多粒子系のシュレーディンガー方程式

多粒子に対しての方程式は粒子の数 $\mathit{f}$ に応じて....
$\begin{align}\hat{H}\psi & =\sum_{f=1}^N [\frac{\hat{p}_f}{2m}-V(r_f)]\psi & =[-\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla_a+\nabla_b.....\nabla_f)-V_f(r)] =(E_a+E_b....E_f)\psi \end{align}$

ここで

$\hat{H}$	ハミルトン演算子
$\hbar=\tfrac{h}{2\pi}$	ディラック定数
$\psi(x^\mu)=\psi(t,x^k)$	波動関数
$V(r)$	ポテンシャルエネルギー
$m$	対象の粒子の質量
$\hat{p}=-i\hbar\nabla=i\hbar\partial_k$	運動量演算子
$E=-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=-i\hbar c\partial_0$	エネルギー
$\nabla=\frac{\partial}{\partial x^k}=-\partial_k$	ラプラス演算子

又、この方程式は古典力学の運動エネルギーの公式
$E=\tfrac{p^2}{2m}$
が基礎なので近似的理論である為相対論による
$E^2=p^2c^2+m^2c^4$
を基礎方程式として量子化した方程式がクライン･ゴルドン方程式やディラック方程式である。

又、シュレーディンガー方程式の波動関数は次の性質を持つ
$\int^\infty_{-\infty} \psi^\dagger \psi \ dx=1$ (確率保存則)

導出

シュレーディンガー方程式の導出方法は幾つかある

ハミルトンの正準方程式を量子化する

$H=\frac{p^2}{2m}-V(r)$
$p\rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial x^k}=i\hbar\partial_k$
$E\rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial t}= -i\hbar\partial_t$
依って
$\therefore -i\hbar\partial_t \psi=[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial}{\partial x^k}+V(x^k)]\psi$

波動方程式にドブロイの理論を代入する

波動方程式
$\begin{align} \partial_\mu \partial^\mu \psi & = [\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^i^2}]\psi \\ & = 0\end{align}$

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最終更新：2014年03月09日 11:33

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