論理/命題論理 - HifeLacks - serenista@wiki

propositional logic。

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■このページの目次

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構成要素(語彙)

原子式

• 文記号(命題変数)

論理演算子

意味	記号	別表現
否定	￢	～
連言(論理積。かつ)	∧	・, ＆
選言(論理和。または)	∨	(なし)
含意(ならば)	⇒	⊃
同値(双条件)	⇔	≡
括弧	()	[], {}
ゆえに	∴	├

• 否定
  • 「Aでない」→「Aである、ということはない」
• 連言(conjunction, conjunctive)
• 選言(disjunction, disjunctive)
  • 包括的な論理和を表す。「AかBの少なくとも一方」
  • 排他的な論理和「AかBのどちらか一方のみ」は、普通意味しない
• 含意(implication)、条件法(condtional)
  • 「AであるのはBである時に限る」
    • 記号で表すとA⇒B
    • →「Bである時に限ってA」＝「BでないならAでない」(対偶)
    • B⇒Aではない
  • 「Aの時のみBである」
    • 記号で表すとB⇒A
    • →「AでないならBでない」(対偶)
    • A⇒Bではない
• 同値(equivalence)
  • 双条件(biconditional)とも
  • 「Pならば、そしてその時に限ってQ」という言い方もする。
• ゆえに(従って)
  • 「├」という記号もある。Unicodeでは U+22A2 または U+22A6 (ここでは罫線文字で代用)
  • ネタ本(1)では「ゆえに」を語彙に含めていない

整論理式

wff(well-formed formula)。論理式とも。

1. 任意の命題変数(原子論理式, 文記号)は整論理式
2. φが整論理式ならば、その否定￢φは整論理式
3. φとψが整論理式ならば、以下は整論理式
   • 連言(A∧B)
   • 選言(A∨B)
   • 含意(A⇒B)
   • 同値(A⇔B)
4. 整論理式の一番外側の括弧は省略してよい(便宜上の規約)

原子式、その他の式

1. 原子式(文記号)以外の論理式は分子式や複合式などとも呼ばれる。
2. ある論理式の一部であり、それ自身論理式であるような式を部分式という。
3. どの論理式もそれ自身の部分式である。

推論規則

1. 否定除去(二重否定の消去)。￢￢PからPを導出できる。
2. 連言導入(連言規則)。PとQからP∧Qを導出できる。
3. 連言除去(単純化規則)。P∧QからPとQを導出できる。
4. 選言導入(付加規則)。PからP∨QとQ∨Pを導出できる。
5. 選言除去。P∨Q、P⇒x, Q⇒xからxを導出できる。
6. 前件肯定(modus pones, MP)。PとP⇒QからQを導出できる。
7. 同値導入(双条件法導入)。P⇒QとQ⇒PからP⇔Qを導出できる。
8. 同値除去(双条件法除去)。P⇔QからP⇒Q、またはQ⇒Pを導出できる。
9. 条件法導入(条件法証明)。Pを仮定してQが得られたらP⇒Qを導出できる。
10. 否定導入(背理法)。Pを仮定してQと￢Qが得られたら￢Pを導出できる。(前提が矛盾しているということ)

下ふたつ(条件法導入と否定導入)は仮説(論証のために設定された仮定)を用いている点で他の規則と異なっている。

法則

■後件否定

• P⇒Qと￢Qから￢Pを結論する。((P⇒Q)∧￢Q) ∴ ￢P

■ド・モルガンの法則

• ￢(P∨Q) = (￢P)∧(￢Q)
• ￢(P∧Q) = (￢P)∨(￢Q)

■分配法則

• P∧(Q∨R) = (P∧Q)∨(P∧R)
• P∨(Q∧R) = (P∨Q)∧(P∨R)

■含意は否定と選言だ

• P⇒Q ⇔ ￢P∨Q
• P⇒(Q∨R) ⇔ P∧￢Q ⇒ R

■P⇒Qに対して

• 逆。Q⇒P
• 裏。￢P⇒￢Q
• 対偶。￢Q⇒￢P

■P⇒Qの時

• PはQであるための十分条件
  • Pであるなら必ずQが成り立つ
• QはPであるための必要条件
  • QでなかったらPではあり得ない(QであったとしてもPであるとは限らないが)

■選言三段論法

• P∨Q, ￢P ∴ Q

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