2次方程式の解き方 - よく分かる数学

2次方程式とは何か。これは、1次方程式のときとは違い、次数が違います。
1次方程式は、xやyなどの変数が一次なんですね。つまり1次式。
2次方程式は、x²やy²など変数が二次なっている2次式の方程式のことなんです。
この二つの最大の違い。それは、解の個数です。1次方程式は一般にひとつしか解がないですよね。2次方程式は一般にふたつあります。（ひとつのときなどもあります。）これが最大の違いです。
では、2次方程式の解き方に入っていきましょう。
xの2次式=0の形に変形できるような方程式を2次方程式といいます。したがって、一般形
ax²+bx+c=0　が成り立つ。
また、2次方程式を解くときに、平方根の考え方を使いましょう。
最終的にはx=□　の形に直さなければなりませんよね。
しかし、2次方程式ではx²=□になってしまう。よって、x=　の形にするには、x=√□　にしてしまえばよいのです。例えば、x²=5　の場合だと、x=±√5　となります。これは二乗と√が対する形になっていることから成り立ちますね。x²=81は？と聞かれれば、できますよね？
x²=±√81　x=±9　となって解が出てきます。この±というのは、+9でもあるし、-9でもあるということです。まぁ簡単ですね。そして、最初の一般形の定義に戻りましょう。
ax²+bx+c=0　が成り立つのならば、2次方程式かそうでないかを見極めることも可能です。それに、～が解であるものはどれか？と尋ねられたとしましょう。それはxに代入して解けばよいというのも今までの勉強から分かりますよね？これは詳しくは説明しませんが、2が解であるものはどれか？と言われれば、方程式のxに2を代入して解けばよい。それだけのことなんです。
あと、x²-p=0　のような形の時、-pを右辺に移項して解けば、x²=p　となって、先ほど説明したx²=□というような形になります。では、今までの内容を定義として纏めてみましょう。

～平方根を使った求め方～
①x²=p⇒x=±√p
②ax²=b⇒x²=b/a⇒x=±√b/a
③(x+m)²=n⇒x+m=±√n⇒x=-m±√n

②③は説明していませんが、今までの内容で分かるかと思います。詳しく知りたい方は掲示板までどうぞ。

問１）次の2次方程式を解きなさい。
(1) 3x²=48
(2) 5x²=120
(3) 4x²=5
(4) 6x²-54=0
(5) 3x²-24=0
(6) 5x²-7=0
(7) (x+4)²=9
(8) (x-5)²-3=0
(9) x²-8x+12=0
★(10) 2x²+10=0


～答え～
問1）
(1) x=±4
(2) x=±2√6
(3) x=±√5/2
(4) x=±3
(5) x=±2√2
(6) x=±√35/5
(7) x=-1,x=-7
(8) x=5±√3
(9) x=6,x=2
(10) 解はなし

～解説～
問1）
(10)  なぜ解がないのか。それは、まず+10というのを右辺に移項します。よって、
2x²=-10  この両辺をx²の係数である2で割ります。すると、
x²=-5  となりますね。そして、x=√-5  となります。でもちょっと待って下さい。-5って何かを二乗してなりますか？これは中学数学でのお約束で、√の中に負の符号を入れてはいけないのですね。これは虚数といい、iで表されます。このiを虚数単位と言うのですが。この虚数は、実数でない複素数を表すのですが、こればかりは高校になってお勉強して下さいね^^　まぁ中学数学では√の中に負の符号を入れてはいけないというお約束がありますので、この場合は解がないということになるんですね。