次の計算をせよ。
「(3√2-2√3)2+(2√3+√2)(√3+3√2)-(2√3-√2)(√3-3√2)」（ラ・サール）
この問題を見た瞬間に私は絶句・・・
思わず、「長!」と思いました。
これは地道にやれば必ず解ける問題。しかし公立高校の入試問題とはさすが格が違う。
長すぎて普通に解いたら時間がかかりますね。
現に私は地道に解いていきました。時間は10分程度かかりましたよ。で、最終的な答えを拝見すると間違っていました。そう計算ミス。入試では一発勝負ですから本来なら私はここで点数を落としていたわけです。それに時間がかかり過ぎて他の問題を解くのに時間がかかってしまいます。そこで私は早く解けるもんはないか、と考えてみました。この式を見てみましょう。何か気づくことはありませんか？そう、似たようなやつがたくさんあります。てか同じものがいくつかありますね。また見た感じ展開で解けそうですね。展開できるということは同類項まとめれるってことだよ。お!じゃぁこれは同じものを文字に置き換えて計算できるんじゃないか？と予想してみた。こういうことを考えてるのってさすが難関高だと思いました。やはり数学は数学的センスがいるんだなと私は疎外感を味わいましたよ・・・
では、その方法を今回は解説していきたいと思います。
～解説～
(3√2-2√3)2+(2√3+√2)(√3+3√2)-(2√3-√2)(√3-3√2)
これは普通に解けば三つの展開出来ます。で、同じようなやつがありますね。
全く同じものを文字に置き換えてやってみよう。
3√2,2√3,√2,√3
の4つが、この式において使われている。だから4つの文字で置いても当然ながら良いのだが、二つの文字の方が楽だと思ったので二つの文字に置き換えてやってみよう。
A=√2
B=√3
とおけば、3√2と2√3はどう表せばいいか分かるかな？
√2はAですから3Aとなり、√3はBですから2Bとなります。即ち、
3A=3√2
2B=2√3
ですね。これらを文字に置き換えたところで、文字を元の式にあてはめてみましょう。
(3A-2B)2+(2B+A)(B+3A)-(2B-A)(B-3A)
ですね。これらを一度展開して解いてみましょう。
(3A-2B)2+(2B+A)(B+3A)-(2B-A)(B-3A)
=(3A)2+2×3A×(-2B)+(-2B)2+2B2+6AB+AB+3A2-(2B2-6AB-AB+3A2)
=9A2-12AB+4B2+2B2+6AB+AB+3A2-2B2+6AB+AB-3A2
よし、ここまで来たね。あとはなんだか同類項でまとめれそうだな、って考える。ここで同類項をまとめてみよう。
=9A2+2AB+4B2
おお。かなりすっきりしましたね。これでAとBの値を代入してみましょう。
=9×(√2)2+2×√2×√3+4×(√3)2
=9×2+2√6+4×3
=18+2√6+12
=30+2√6
となります。実際この問題解きながらこのページを書いていきましたが、途中で様々な壁にぶつかって最終的な答えが間違ったりしました。原因は展開するときに項を一つ書き忘れてたのが原因でしたorz
計算問題なのにこんなに間違えてしまったのですが、最終的に解けてよかったです。
普通のしょうもない問題じゃつまらないと言う方、是非解いてみてはいかがでしょう？
