「a,b,cは正の整数で、50<c<100とする。xについての方程式 ax2-bx-c+1=0 の2つの解が2とp、方程式 bx2-cx-a+3=0 の2つの解が3とqであるとき、a,b,cの値の組を全て求めよ。また、そのときのp,qの値を求めよ。」（開成）
この問題は、やはり開成の問題だけあって難易度は高いです。
★5つの上位に入る難しさだと思います。
恐らくですが、解と係数の関係を使えば解けるかな？と思ったりもしました。（実際には解いてませんが）でも、ここでは中学生でも解ける解放を教えますので、是非その解放を得てくれれば幸いです。
～解説～
では、まずは分かりやすいように式に番号をふりましょう。
ax2-bx-c+1=0・・・①
bx2-cx-a+3=0・・・②
とします。
①と②の式の解はそれぞれひとつ分かってますから、それを式に代入していきましょう。
①にx=2を代入。
4a-2b-c+1=0
4a-2b-c=-1・・・③
②にx=3を代入。
9b-3c-a+3=0
-a+9b-3c=-3・・・④
ここまでは大丈夫ですか？
では、次に③と④を解いていきましょう。
まず、aを消したいので④×4=④´として、③と④´と足すと、
34b-13c=-13
-13cを右辺に移項します。そして、
34b=13c-13
ここで、右辺が因数分解できますね。共通因数13として、因数分解してみると、
34b=13(c-1)・・・⑤
となります。
ここで、⑤に注目してほしいです。特にc-1なのですが、これは34の倍数といえます。何故か。ここで少し背理法というテクニックを使って証明していきます。（背理法は高校で習いますが、今回は説明するために使ってるものであって、c-1が34の倍数であることは他でも示せる。）
c-1が34の倍数でないと仮定してみましょう。
bとcは自然数ですよね。（問題文の「a,b,cは正の整数」より）
もし、34の倍数でなければ自然数になりません。
かけ算において、かけた結果はかけられた数、かけた数で割ることが出来ますよね。c-1が34の倍数でなければ、13とc-1をかけた結果は34の倍数にならないことになります。（13は34の倍数でなく、c-1も34の倍数でないことから、13(c-1）は34の倍数でない。）
つまり、34b=13(c-1)の13(c-1)の結果が34の倍数でなければ、
34b=34の倍数でない数 これを解くと、bは自然数にならず分数（小数）になってしまいます。ここで矛盾が生じてしまったので、c-1は34の倍数であることが示されます。
では、cの値って何なのか？34の倍数だからって何か分かるの？っていうのが今の疑問でしょうか。それは、今度は問題文の「50<c<100」という条件に注目していきましょう。c-1は34の倍数です。34の倍数とは、
34,68,136,272,544,1088,............
という感じですね。ここで、50<c<100を満たすものは68しかありませんよね。c-1=34とすれば、cは35になるので条件に合わない。
c-1=68とすれば、cは69になるので条件に合う。
c-1=136とすれば、cは137となるので条件に合わない。
従って、条件に合うのはひとつしかないので、c-1は68となります。そして、 c-1=68 を解いて、c=69 ですね。
c=69を⑤に代入して、
34b=13(69-1)
34b=13・68
b=13・2
b=26
となりますね。
ここで、bとcの値は分かっちゃったので、aを求めましょう。
bとcの値を④あたりに代入してみましょう。
4a-2・26-69=-1
4a=-1+52+69
4a=52+68
4a=120
a=30
これにより、
a=30
b=26
c=69
というa,b,cの値は出ました。あとは、①と②にa,b,cの値を代入してそれを解いてみましょう。
①にa,b,cの各値を代入。
30x2-26x-69+1=0
30x2-26x-68=0
両辺を2で割って、
15x2-13x-34=0
解の公式を使って解くと、
今は計算の途中です。
