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Batchelor Fluid Dynamics

Batchelor `An Introduction of Fluid Dynamics'を読む自主ゼミのためのページ。（試行版）。２章に入って区切りがよいので作ってみました。

作ってくれてありがとう！
ここで疑問点とか書き出したりしとくとゼミ進めやすいかもね。
蛇足…<コピーに関して>縦方向を8.5"に合わせて本の上をはみ出させて倍率100%、読み取り原稿A4指定にすると綺麗にコピーできます。

前提事項

  • このページはwikipedia-likeモードで記述してます。構文はご利用ガイドにあります。あとでヤギ君に設定してもらったら、@wikiモードに戻すつもり。@wikiモードに戻しました。
  • 数式が打てます。構文はTeXのコマンドで大体大丈夫なはず。ただし、文中挿入はサイズ変更ができないので避けましょう。例えば、
e^{i\pi}=-1
  • 各回の要旨と解決した疑問を書いていけばいいかと。
  • 新しい回の内容は、「各回要旨」の直下に書くことにすれば、常に新しいのがすぐ見れる状態になってよいと思います。

今後の予定

日付 担当者 予定範囲 その他なにかあれば。
7/05 　 Y.T.　 pp.83-92? 　　　　　　　
7/12 　　　　　 　　　　　 　　　　　　　
7/19 　　　　　 　　　　　 　　　　　　　
7/26 　　N.A. pp.102-??　　　　　 　開始：16:00過ぎ　　　　
8/02 N.A pp.105-
8/09 T.S

次回(7/26)分の不明点（があれば。）


各回要旨

!!次の人はここに書く!!

  • p.102の区切りのところまで終了（7/19）

7月５日

pp.83-92

Simple shearing motion

shimple shearing motion(単純ずり運動)とは、
  • 相対速度 δu の方向がどこでも同じ
  • δu と垂直な一方向のみに速度変化がある
という運動である。流体の層が別の層の上を滑っているイメージ。

δu の向きを１軸、速度勾配の向きを２軸とすると shimple shearing motion は次のように記述できる。
\delta u=(r_2 \frac{\partial u_1}{\partial x_2},0,0) , \Phi=\frac{1}{2}r_1r_2\frac{\partial u_1}{\partial x_2} , \omega=(0,0,-\frac{\partial u_1}{\partial x_2})

６月28日

pp.71~82

Specification

流体の速度場の記述方法には二通りある。
  • Eulerian specification　:　局所的な速度の空間的分布を記述する。独立変数は位置xと時刻t。
  • Lagrangian specification　:　流体素片が持つ速度を記述する。独立変数は初期位置aと時刻t。
Lagrangian specificationはある状況下では便利であるが、多くの場合Eulerian specificationを採用する。また、時刻tに速度ベクトルvが依らない時、`steady'（定常）であるという。

流体の場の可視化の方法には以下の方法がある。
  • streamline（流線） : 接線方向がその点での速度の方向であるような曲線（電気力線、磁力線のようなもの）。Euler的。
  • path line（流跡線） : 注目した流体素片が移動した軌跡。Lagrange的。
  • streak line（流脈線） :　ある固定点で、流体に色を付け続けた時に、その色がどのように分布するか。

時に簡単化のために二次元の流れを考えることは有用であり、それはある方向の軸に垂直な断面上での流れの描像が変化しないような流れである。

流体の運動に沿った微分（Lagrange微分）を、Euler的な記述での微分によって
\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\overrightarrow{u}.\nabla
で与えられる。ひとつの流体素片において不変な物理量についてこの微分はゼロである。

Mass Conservation

質量源がないような時には、座標系固定の領域について
（内部質量）＝ー(質量流束)
がなりたち、この微分形が連続の式(equation of continuity)で、
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla.(\rho\overrightarrow{u})=0
すなわち、
\frac{1}{\rho}\frac{D \rho}{Dt}+\nabla.\overrightarrow{u}=0
ここで、第二項は体積の変化率を表わし、しばしば△と書く。

非圧縮性流体…圧力変化に対して流体要素の密度は変化しない
この気持ちを汲んで数式にぶち込んでやると、非圧縮性流体では、
\nabla.\overrightarrow{u}=0
体積は変わらないってこと。確かに。

stream function

非圧縮性流体の場合、stream functionが定義できる。
d\psi=udy-vdx
これを勝手な経路で積分すればいい。
p.76の　`it follows that uδy-vδx is an exact differential ...'　とあるのは、これが微分形式であるための必要十分条件
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (-v)}{\partial y}
を満たすからということで解決。

uδy-vδxは流束を表わすから、二点を結ぶ曲線を貫く質量流束は、流れ関数の差になる。（＝質量保存則の代わり）流れ関数の値は、流線上で一定⇒流れ関数の値が一定間隔になるように流線を引く。

一般の場合に、stream functionはベクトルに拡張できる。
\overirghtarrow{u}=\nabla\cdot\overrightarrow{B}

the relative motion near a point

ある点xで時刻tのとき、速度u(x,t)とする。点xから近傍の点までの位置ベクトルをrとする。xとx+rでの速度差をrの一次まで考えて、対称成分e_ijと反対称成分ξ_ijに分解する。

対称成分e_ijは、主軸方向へのsimple straining motionを表わす。すなわち、主軸に平行な線素は、主軸方向にstretchされる。

反対称成分は、渦度
\overrightarrow{\omega}=\nabla\times \overrightarrow{u}
（流体の点x近傍のlocalなrotationを表わす。）を用いると、ω×r/2と書ける。

渦度ωは、微小要素を剛体と見做した時の角運動量に相当する。ただし、対称成分の存在によって、決まった。形を維持して運動するわけではない。

式(2.3.12)は、球対称であることに注意して、
\rho\int r_xr_xdV = \frac{1}{2}\int (r_x^2+r_y^2)\rho\ dV = \frac{I}{2}
という変形。わかりやすいように軸はz軸とした。

（written by N.A.）

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最終更新：2011年08月03日 08:17